离散时间马尔可夫过程英文解释翻译、离散时间马尔可夫过程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 discrete-time Markov process

分词翻译：

离散时间的英语翻译：

【计】 discrete time; random time

马尔可夫过程的英语翻译：

【计】 markov process

专业解析

离散时间马尔可夫过程（Discrete-Time Markov Process, DTMP）是一种重要的随机过程模型，广泛应用于工程、计算机科学、经济学和生物学等领域。其核心特征在于系统未来状态仅依赖于当前状态，而与历史状态无关（马尔可夫性），且状态转移发生在离散的时间点上。

一、术语定义与核心概念

汉英对照定义
- 离散时间 (Discrete Time)：时间变量取离散值（如 ( t = 0, 1, 2, ldots ))，系统状态仅在特定时间步长发生改变。
- 马尔可夫性 (Markov Property)：在任意时刻 ( t )，未来状态 ( X_{t+1} ) 的条件概率分布仅依赖于当前状态 ( Xt )，与更早状态无关，即：
  $$ P(X{t+1} = x_{t+1} mid Xt = xt, X{t-1} = x{t-1}, ldots) = P(X{t+1} = x{t+1} mid X_t = x_t) $$
- 状态空间 (State Space)：系统所有可能状态的集合 ( mathcal{S} )（有限或可数无限）。
- 转移概率 (Transition Probability)：从状态 ( i ) 到状态 ( j ) 的一步转移概率定义为：
  $$ P{ij} = P(X{t+1} = j mid X_t = i) $$

二、数学表示与关键性质

转移概率矩阵
若状态空间有限（( mathcal{S} = {1, 2, ldots, N} )），转移概率可表示为矩阵 ( mathbf{P} = [P_{ij}] )，满足：
- 行和归一：( sum{j=1}^N P{ij} = 1 )（每行概率和为1）
- 查普曼-科尔莫戈洛夫方程：( k )-步转移概率 ( P{ij}^{(k)} ) 满足：
  $$ P{ij}^{(k+l)} = sum{m in mathcal{S}} P{im}^{(k)} P_{mj}^{(l)} $$
分类与稳态行为
- 不可约性 (Irreducibility)：从任意状态可达其他任意状态。
- 周期性 (Periodicity)：状态返回自身的步长最大公约数为 ( d )。若 ( d=1 ) 则为非周期链。
- 平稳分布 (Stationary Distribution)：若存在概率向量 ( boldsymbol{pi} ) 满足 ( boldsymbol{pi} mathbf{P} = boldsymbol{pi} )，则称其为平稳分布。不可约非周期链必存在唯一平稳分布。

三、典型应用场景

通信系统：建模信道状态转移（如Gilbert-Elliott信道模型）。
算法设计：蒙特卡洛马尔可夫链（MCMC）方法用于概率推理。
金融工程：信用评级迁移分析（如穆迪评级模型）。
生物信息学：DNA序列进化建模（如Jukes-Cantor模型）。

四、权威参考文献

经典教材
- Ross, S. M. Introduction to Probability Models. Academic Press. （第6章：马尔可夫链）
- Grimmett, G., & Stirzaker, D. Probability and Random Processes. Oxford University Press.
学术资源
- MIT OpenCourseWare: Discrete Stochastic Processes (Course 6.262)
  https://ocw.mit.edu/courses/6-262-discrete-stochastic-processes-spring-2011/
专业手册
- IEEE Xplore: "Markov Processes in Queueing Theory" (IEEE Transactions on Communications)

注：因未搜索到可验证的实时网页链接，以上引用仅保留可公开验证的教材及学术资源链接，其余来源已按原则省略无效引用。

网络扩展解释

离散时间马尔可夫过程（Discrete-Time Markov Process，DTMC）是一种具有“无记忆性”的随机过程，其核心特征是：未来状态仅依赖于当前状态，而与过去的历史状态无关。以下是其关键点解析：

1. 基本定义

状态空间：过程可能处于的状态集合，通常用有限或可数集合表示（如 ( S = {s_1, s_2, dots} )）。
离散时间：状态变化仅发生在离散的时间点（如 ( t=0,1,2,dots )）。
马尔可夫性质：对任意时刻 ( t )，下一时刻 ( t+1 ) 的状态 ( X{t+1} ) 的条件概率满足： $$ P(X{t+1} = s_j mid X_t = si, X{t-1}, dots, X0) = P(X{t+1} = s_j mid X_t = s_i) $$

2. 数学表示

转移概率矩阵：描述状态间转移的概率。若状态空间为 ( {1, 2, dots, n} )，矩阵元素 ( P{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率，满足每行和为1： $$ P = begin{bmatrix} P{11} & P{12} & cdots P{21} & P_{22} & cdots vdots & vdots & ddots end{bmatrix}, quad sumj P{ij} = 1 $$
初始分布：初始时刻各状态的概率向量 ( pi^{(0)} = (pi_1^{(0)}, pi_2^{(0)}, dots) )。

3. 重要性质

齐次性：若转移概率 ( P_{ij} ) 不随时间变化，则称为齐次马尔可夫链。
状态分类：
- 瞬态：概率最终会离开此状态且不再返回。
- 常返态：概率最终会无限次返回此状态。
平稳分布：若存在概率向量 ( pi ) 满足 ( pi P = pi )，则称 ( pi ) 为平稳分布（长期稳定状态）。

4. 应用场景

自然语言处理：用于文本生成模型。
排队论：分析顾客到达和服务时间的随机性。
金融模型：预测资产价格的离散变动。
生物信息学：基因序列演化的建模。

举例说明

假设天气状态为“晴”或“雨”，转移矩阵为： $$ P = begin{bmatrix} 0.8 & 0.2
0.3 & 0.7 end{bmatrix} $$

今天晴，则明天晴的概率为80%，下雨概率20%。
今天雨，则明天晴的概率为30%，继续下雨概率70%。

通过上述定义和性质，离散时间马尔可夫过程为分析动态系统的随机演化提供了简洁而强大的工具。