零因子英文解釋翻譯、零因子的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【醫】 nilfactor; zero-divisor

zero; nought; fractional; nil; nothing; wither and fall
【計】 Z; zero
【醫】 zero

factor; gene
【化】 factor
【醫】 factor

在抽象代數中，零因子（zero divisor）指代環論中的特殊元素。根據劍橋大學數學詞典定義，若在環$R$中存在兩個非零元素$a,b$滿足$a cdot b = 0$，則稱$a$為左零因子，$b$為右零因子。這類元素的存在标志着該環具有特殊的代數性質，例如在非交換環中可能存在單邊零因子。

典型示例可見于模運算環：在ℤ/6ℤ環中，元素2和3滿足$2 cdot 3 equiv 0 pmod{6}$，因此均屬于零因子。這種現象導緻ℤ/6ℤ無法構成整環，印證了零因子與環結構完整性間的負相關性。

該概念在密碼學領域有實際應用，例如基于環結構的格密碼方案設計時，必須排除含零因子的代數結構以保證算法安全性。當代數結構滿足無零因子條件時，則構成整環，此類結構在多項式方程求解等領域具有重要價值。

零因子（Zero Divisor）是抽象代數中環論的核心概念之一，具體定義如下：

在環 ( R ) 中，若存在非零元素 ( a ) 和 ( b )，使得 ( a cdot b = 0 )（環的加法單位元），則稱 ( a ) 為左零因子，( b ) 為右零因子。若一個元素既是左零因子又是右零因子，則直接稱為零因子。

與可逆元的關系
零因子不可逆。若環中某元素有乘法逆元，則它不可能是零因子。例如，在整數環 ( mathbb{Z} ) 中，隻有 ( pm1 ) 可逆，而它們顯然不是零因子。
對消去律的影響
存在零因子的環中，消去律不成立。即若 ( a cdot b = a cdot c ) 且 ( a eq 0 )，無法推出 ( b = c )。
整環的關聯
無零因子的交換環稱為整環（如整數環 ( mathbb{Z} )、實數多項式環 ( mathbb{R}[x] )）。整環中非零元的乘積始終非零。

模 ( n ) 剩餘類環
當 ( n ) 為合數時，模 ( n ) 環 ( mathbb{Z}/nmathbb{Z} ) 存在零因子。例如在 ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) 中，( 2 cdot 3 = 6 equiv 0 mod 6 )，因此 2 和 3 是零因子。
矩陣環
在 ( 2 times 2 ) 實矩陣環中，非零矩陣 ( A = begin{pmatrix}1 & 00 & 0end{pmatrix} ) 和 ( B = begin{pmatrix}0 & 00 & 1end{pmatrix} ) 滿足 ( A cdot B = 0 )，故均為零因子。
多項式環
若環 ( R ) 本身有零因子，則多項式環 ( R[x] ) 中也可能存在零因子。例如，在 ( mathbb{Z}/4mathbb{Z}[x] ) 中，( 2x cdot 2x = 4x equiv 0 mod 4 )。

零因子的存在反映了環的代數結構複雜性。例如，在代數幾何中，零因子對應着空間中的“不可約分支”；在密碼學中，某些基于環的困難問題（如格密碼）會利用零因子的特性。