零因子英文解释翻译、零因子的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【医】 nilfactor; zero-divisor

zero; nought; fractional; nil; nothing; wither and fall
【计】 Z; zero
【医】 zero

factor; gene
【化】 factor
【医】 factor

在抽象代数中，零因子（zero divisor）指代环论中的特殊元素。根据剑桥大学数学词典定义，若在环$R$中存在两个非零元素$a,b$满足$a cdot b = 0$，则称$a$为左零因子，$b$为右零因子。这类元素的存在标志着该环具有特殊的代数性质，例如在非交换环中可能存在单边零因子。

典型示例可见于模运算环：在ℤ/6ℤ环中，元素2和3满足$2 cdot 3 equiv 0 pmod{6}$，因此均属于零因子。这种现象导致ℤ/6ℤ无法构成整环，印证了零因子与环结构完整性间的负相关性。

该概念在密码学领域有实际应用，例如基于环结构的格密码方案设计时，必须排除含零因子的代数结构以保证算法安全性。当代数结构满足无零因子条件时，则构成整环，此类结构在多项式方程求解等领域具有重要价值。

零因子（Zero Divisor）是抽象代数中环论的核心概念之一，具体定义如下：

在环 ( R ) 中，若存在非零元素 ( a ) 和 ( b )，使得 ( a cdot b = 0 )（环的加法单位元），则称 ( a ) 为左零因子，( b ) 为右零因子。若一个元素既是左零因子又是右零因子，则直接称为零因子。

与可逆元的关系
零因子不可逆。若环中某元素有乘法逆元，则它不可能是零因子。例如，在整数环 ( mathbb{Z} ) 中，只有 ( pm1 ) 可逆，而它们显然不是零因子。
对消去律的影响
存在零因子的环中，消去律不成立。即若 ( a cdot b = a cdot c ) 且 ( a eq 0 )，无法推出 ( b = c )。
整环的关联
无零因子的交换环称为整环（如整数环 ( mathbb{Z} )、实数多项式环 ( mathbb{R}[x] )）。整环中非零元的乘积始终非零。

模 ( n ) 剩余类环
当 ( n ) 为合数时，模 ( n ) 环 ( mathbb{Z}/nmathbb{Z} ) 存在零因子。例如在 ( mathbb{Z}/6mathbb{Z} ) 中，( 2 cdot 3 = 6 equiv 0 mod 6 )，因此 2 和 3 是零因子。
矩阵环
在 ( 2 times 2 ) 实矩阵环中，非零矩阵 ( A = begin{pmatrix}1 & 00 & 0end{pmatrix} ) 和 ( B = begin{pmatrix}0 & 00 & 1end{pmatrix} ) 满足 ( A cdot B = 0 )，故均为零因子。
多项式环
若环 ( R ) 本身有零因子，则多项式环 ( R[x] ) 中也可能存在零因子。例如，在 ( mathbb{Z}/4mathbb{Z}[x] ) 中，( 2x cdot 2x = 4x equiv 0 mod 4 )。

零因子的存在反映了环的代数结构复杂性。例如，在代数几何中，零因子对应着空间中的“不可约分支”；在密码学中，某些基于环的困难问题（如格密码）会利用零因子的特性。