階乘級數英文解釋翻譯、階乘級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 factorial series

分詞翻譯：

乘的英語翻譯：

multiply; ride; ride on; take; take advantage of
【計】 multiply

級數的英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

專業解析

階乘級數（Factorial Series）是數學分析中由階乘函數構成的特殊無限級數形式，其一般表達式可表示為$sum_{n=0}^{infty} frac{an}{n!} x^n$，其中$n!$表示正整數$n$的階乘運算。這類級數在泰勒展開、概率論及量子物理等領域具有重要應用，例如自然指數函數$e^x = sum{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$即為典型的階乘級數。

根據《數學分析》（高等教育出版社）的定義，階乘級數的收斂半徑通常為無窮大，這源于分母$n!$的增速遠快于分子$x^n$的指數增長。在組合數學中，該類級數常被用于解決排列組合問題，如計算包含重複元素的排列數時需引入$frac{n!}{k_1!k_2!cdots k_m!}$型表達式。

權威數學參考網站Wolfram MathWorld指出，階乘級數與Γ函數存在深刻聯繫，後者将階乘概念拓展至複數域，使得級數應用範圍進一步擴展至特殊函數理論領域。具體案例可參考劍橋大學數學系公開課程中關于斯特林公式的推導過程，該公式通過階乘級數近似計算大數階乘值。

網絡擴展解釋

階乘級數是數學分析中的一類特殊級數，其通項包含階乘（符號為“!”）運算。以下是其詳細解釋：

1.基本定義

階乘級數的一般形式為： $$ sum_{n=0}^{infty} an cdot n! $$ 或包含階乘的組合形式，例如： $$ sum{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} $$ 其中，( n! = n times (n-1) times cdots times 1 )，且 ( 0! = 1 )。

2.常見類型與例子

指數函數的泰勒展開
最著名的階乘級數是自然指數函數 ( e^x ) 的展開式： $$ e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} $$ 這裡，分母的 ( n! ) 保證了級數的收斂性。
其他應用
階乘級數也出現在概率論（如泊松分布）、組合數學（如排列組合問題）及物理學（如統計力學）中。

3.收斂性分析

階乘增長速度快于指數函數，因此：

形如 ( sum frac{x^n}{n!} ) 的級數對所有實數 ( x ) 絕對收斂（通過比值判别法可證）。
但形如 ( sum n! cdot x^n ) 的級數僅在 ( x=0 ) 處收斂，因為階乘增長過快。

4.與普通幂級數的區别

普通幂級數的通項為 ( x^n )，而階乘級數通過引入 ( n! )（或 ( 1/n! )）調整收斂性和函數特性。例如，( e^x ) 的級數若去掉分母的 ( n! )，會變為發散級數。

5.擴展概念

雙階乘級數：使用雙階乘 ( n!! )（如 ( 5!! = 5 times 3 times 1 )）。
漸近展開：某些函數在無窮遠處的近似展開可能包含階乘項，如斯特林公式 ( n! sim sqrt{2pi n} left( frac{n}{e} right)^n )。

總結來看，階乘級數的核心特征是通項中顯式包含階乘運算，其收斂性和應用場景與普通級數有顯著差異。