加法恒等元英文解釋翻譯、加法恒等元的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 additive identity

分詞翻譯：

加法的英語翻譯：

addition; additive
【計】 ADD; addition

恒等的英語翻譯：

identical

元的英語翻譯：

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【經】 dollar; yuan

專業解析

在數學中，加法恒等元（英文：Additive Identity）是一個基礎概念，指在特定的代數系統（如群、環、域）中，存在一個唯一元素，當它與該系統中的任意元素進行加法運算時，不改變該元素的值。

詳細解釋：

核心定義與特性：
- 設存在一個集合 S 和定義在其上的加法運算 "+"。
- 如果存在一個元素 e ∈ S，使得對于 S 中的每一個元素 a，都滿足： a + e = e + a = a
- 則稱 e 是集合 S 上關于加法運算 "+" 的恒等元或單位元。由于這個恒等元是針對加法定義的，因此特稱為加法恒等元。
- 加法恒等元在給定的系統和運算下是唯一的。如果存在兩個恒等元 e1 和 e2，則必有 e1 = e1 + e2 = e2 + e1 = e2。
常見示例：
- 整數集 (ℤ)、實數集 (ℝ)、複數集 (ℂ)：在這些數集上，加法恒等元是0。因為對于任何數 a，有 a + 0 = 0 + a = a。
- n x m 矩陣集合 (在矩陣加法下)：加法恒等元是零矩陣（所有元素均為 0 的矩陣）。因為任何矩陣 A 加上與其同維的零矩陣 O，結果仍是 A (A + O = O + A = A)。
- 函數空間 (在函數加法下)：加法恒等元是零函數（對所有定義域内的輸入，輸出值恒為 0 的函數）。因為任何函數 f(x) 加上零函數 z(x) (即 z(x)=0)，結果仍是 f(x) (f(x) + z(x) = z(x) + f(x) = f(x))。
- 向量空間 (在向量加法下)：加法恒等元是零向量。因為任何向量 v 加上零向量 0，結果仍是 v (v + 0 = 0 + v = v)。
在代數結構中的重要性：
- 加法恒等元是定義群（Group）（特别是加法群）、環（Ring）和域（Field）等基本代數結構的必備公理之一。這些結構要求在其加法運算下必須存在一個恒等元。
- 它是定義加法逆元（Additive Inverse）的基礎：對于元素 a，其加法逆元 b 滿足 a + b = b + a = e (e 是加法恒等元)。例如，在實數中，a 的加法逆元是 -a，因為 a + (-a) = 0。

來源參考：

加法恒等元定義：該定義是抽象代數（Abstract Algebra）的基礎概念，可在任何标準的代數教材中找到，如《代數學引論》（Introduction to Algebra）或《抽象代數基礎》（Basic Algebra I）。來源：抽象代數标準教材（如 Hungerford, Lang, Dummit & Foote 等著作）。
實數加法恒等元：實數系統的域公理（Field Axioms）明确包含加法恒等元 0 的存在性。來源：實數理論或數學分析教材（如 Rudin 的《數學分析原理》）。
矩陣加法恒等元：線性代數中矩陣運算的基本性質。來源：線性代數标準教材（如 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》或 David Lay 的《Linear Algebra and Its Applications》）。
向量空間公理：向量空間的定義公理明确要求存在加法恒等元（零向量）。來源：線性代數教材中關于向量空間的章節。

網絡擴展解釋

加法恒等元是數學中一個基本概念，指在加法運算下不改變其他元素的特殊元素。其核心定義是：

定義對于集合 ( S ) 和其上的加法運算 ( + )，若存在元素 ( e in S )，使得對任意 ( a in S ) 滿足： $$ a + e = e + a = a $$ 則稱 ( e ) 為加法恒等元（或加法單位元）。

關鍵性質

唯一性
若集合中存在加法恒等元，則它唯一。假設存在兩個恒等元 ( e_1 ) 和 ( e_2 )，根據定義可得 ( e_1 = e_1 + e_2 = e_2 )。
常見表現形式
- 在整數、實數、複數集合中，恒等元是 ( 0 )（如 ( 5 + 0 = 5 )）。
- 在向量空間中，恒等元是零向量 ( mathbf{0} )。
- 在矩陣加法中，恒等元是零矩陣。

應用意義
恒等元是代數結構（如群、環）的必要組成部分。例如，在群論中，每個群必須包含一個恒等元以保證運算封閉性和可逆性。解方程時，恒等元的存在允許通過加法逆元（如 ( -a )）移項操作（如 ( x + 3 = 5 implies x = 5 + (-3) )）。

簡言之，加法恒等元是維持運算結構穩定的“基準點”，廣泛存在于數學各分支中。