加法恒等元英文解释翻译、加法恒等元的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 additive identity

分词翻译：

加法的英语翻译：

addition; additive
【计】 ADD; addition

恒等的英语翻译：

identical

元的英语翻译：

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【经】 dollar; yuan

专业解析

在数学中，加法恒等元（英文：Additive Identity）是一个基础概念，指在特定的代数系统（如群、环、域）中，存在一个唯一元素，当它与该系统中的任意元素进行加法运算时，不改变该元素的值。

详细解释：

核心定义与特性：
- 设存在一个集合 S 和定义在其上的加法运算 "+"。
- 如果存在一个元素 e ∈ S，使得对于 S 中的每一个元素 a，都满足： a + e = e + a = a
- 则称 e 是集合 S 上关于加法运算 "+" 的恒等元或单位元。由于这个恒等元是针对加法定义的，因此特称为加法恒等元。
- 加法恒等元在给定的系统和运算下是唯一的。如果存在两个恒等元 e1 和 e2，则必有 e1 = e1 + e2 = e2 + e1 = e2。
常见示例：
- 整数集 (ℤ)、实数集 (ℝ)、复数集 (ℂ)：在这些数集上，加法恒等元是0。因为对于任何数 a，有 a + 0 = 0 + a = a。
- n x m 矩阵集合 (在矩阵加法下)：加法恒等元是零矩阵（所有元素均为 0 的矩阵）。因为任何矩阵 A 加上与其同维的零矩阵 O，结果仍是 A (A + O = O + A = A)。
- 函数空间 (在函数加法下)：加法恒等元是零函数（对所有定义域内的输入，输出值恒为 0 的函数）。因为任何函数 f(x) 加上零函数 z(x) (即 z(x)=0)，结果仍是 f(x) (f(x) + z(x) = z(x) + f(x) = f(x))。
- 向量空间 (在向量加法下)：加法恒等元是零向量。因为任何向量 v 加上零向量 0，结果仍是 v (v + 0 = 0 + v = v)。
在代数结构中的重要性：
- 加法恒等元是定义群（Group）（特别是加法群）、环（Ring）和域（Field）等基本代数结构的必备公理之一。这些结构要求在其加法运算下必须存在一个恒等元。
- 它是定义加法逆元（Additive Inverse）的基础：对于元素 a，其加法逆元 b 满足 a + b = b + a = e (e 是加法恒等元)。例如，在实数中，a 的加法逆元是 -a，因为 a + (-a) = 0。

来源参考：

加法恒等元定义：该定义是抽象代数（Abstract Algebra）的基础概念，可在任何标准的代数教材中找到，如《代数学引论》（Introduction to Algebra）或《抽象代数基础》（Basic Algebra I）。来源：抽象代数标准教材（如 Hungerford, Lang, Dummit & Foote 等著作）。
实数加法恒等元：实数系统的域公理（Field Axioms）明确包含加法恒等元 0 的存在性。来源：实数理论或数学分析教材（如 Rudin 的《数学分析原理》）。
矩阵加法恒等元：线性代数中矩阵运算的基本性质。来源：线性代数标准教材（如 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》或 David Lay 的《Linear Algebra and Its Applications》）。
向量空间公理：向量空间的定义公理明确要求存在加法恒等元（零向量）。来源：线性代数教材中关于向量空间的章节。

网络扩展解释

加法恒等元是数学中一个基本概念，指在加法运算下不改变其他元素的特殊元素。其核心定义是：

定义对于集合 ( S ) 和其上的加法运算 ( + )，若存在元素 ( e in S )，使得对任意 ( a in S ) 满足： $$ a + e = e + a = a $$ 则称 ( e ) 为加法恒等元（或加法单位元）。

关键性质

唯一性
若集合中存在加法恒等元，则它唯一。假设存在两个恒等元 ( e_1 ) 和 ( e_2 )，根据定义可得 ( e_1 = e_1 + e_2 = e_2 )。
常见表现形式
- 在整数、实数、复数集合中，恒等元是 ( 0 )（如 ( 5 + 0 = 5 )）。
- 在向量空间中，恒等元是零向量 ( mathbf{0} )。
- 在矩阵加法中，恒等元是零矩阵。

应用意义
恒等元是代数结构（如群、环）的必要组成部分。例如，在群论中，每个群必须包含一个恒等元以保证运算封闭性和可逆性。解方程时，恒等元的存在允许通过加法逆元（如 ( -a )）移项操作（如 ( x + 3 = 5 implies x = 5 + (-3) )）。

简言之，加法恒等元是维持运算结构稳定的“基准点”，广泛存在于数学各分支中。