後向方程英文解釋翻譯、後向方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 backward equation

分詞翻譯：

後的英語翻譯：

after; back; behind; offspring; queen
【醫】 meta-; post-; retro-

向的英語翻譯：

always; at; be partial to; direction; face; out; to; toward
【醫】 ad-; ak-; ob-

方程的英語翻譯：

equation

專業解析

在隨機過程與馬爾可夫鍊理論中，後向方程（Backward Equation）指描述系統狀态轉移概率隨時間演化的偏微分方程。其核心思想是通過逆向時間分析狀态變化的概率規律，與前向方程（Forward Equation）構成柯爾莫哥洛夫方程組的兩個組成部分。

從數學形式看，後向方程通常表示為： $$ frac{partial}{partial t} P{ij}(s,t) = sum{k eq i} q{ik}(s) P{kj}(s,t) $$ 其中 ( P{ij}(s,t) ) 表示從時刻 ( s ) 狀态 ( i ) 轉移到時刻 ( t ) 狀态 ( j ) 的概率，( q{ik} ) 為狀态轉移速率參數。該方程通過推導狀态在初始時刻 ( s ) 的微小變化對後續過程的影響，建立概率密度的動态關系。

在應用層面，後向方程常用于：

排隊論中計算系統達到穩态前的過渡行為
金融數學中期權定價模型的隨機微分方程求解
生物統計學對種群擴散過程的建模

其命名的“後向”特性體現在方程變量基于初始時刻 ( s ) 而非終止時刻 ( t )，這種逆向推導方法由數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫于1931年首次系統提出。

網絡擴展解釋

後向方程是數學和物理學中在不同領域具有特定含義的術語，以下是其核心解釋及分類：

一、概率論中的柯爾莫哥洛夫後向方程

定義：用于描述馬爾可夫過程轉移概率隨時間演化的偏微分方程，屬于隨機過程理論的核心工具。它通過初始條件的變化推導系統未來狀态的概率分布。
數學形式：
$$ frac{partial}{partial t} P(s, x; t, y) = mathcal{A}_s P(s, x; t, y) $$
其中：

( P(s, x; t, y) ) 表示從時刻( s )狀态( x )轉移到時刻( t )狀态( y )的概率；
( mathcal{A}_s ) 是生成元算子，與過程的局部特性相關。
應用場景：群體遺傳學中研究基因頻率隨時間的變化（如提到的初始頻率( p )作為隨機變量的反向追溯過程）。

二、數值分析中的後向差分方程

定義：一種離散化微分方程的方法，通過當前時刻和下一時刻的值計算當前解，常用于提高數值穩定性。
數學形式（以一階常微分方程為例）：
$$ u{i} = u{i+1} + Delta t cdot f(u{i+1}, t{i+1}) $$
其中：

( u_i ) 為時刻( t_i )的解；
( Delta t ) 為時間步長。
特點：屬于隱式方法，適合求解剛性方程（如熱傳導方程），但計算複雜度較高。

三、核心區别與聯繫

維度	柯爾莫哥洛夫後向方程	後向差分方程
領域	概率論與隨機過程	數值計算與微分方程離散化
時間方向	逆向推導初始條件的影響	逆向時間步長遞推
典型應用	基因頻率演化、金融模型	工程仿真、物理建模

四、擴展說明

前向方程對比：柯爾莫哥洛夫前向方程（Fokker-Planck方程）描述當前狀态對未來的影響，而後向方程關注初始條件如何決定未來分布。
數值穩定性：後向差分法因隱式特性，在疊代中需解方程組，但能避免顯式方法的不穩定性問題。

如需進一步了解具體領域（如生物學或計算數學）的應用案例，可參考相關文獻或專業教材。