后向方程英文解释翻译、后向方程的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 backward equation

分词翻译：

后的英语翻译：

after; back; behind; offspring; queen
【医】 meta-; post-; retro-

向的英语翻译：

always; at; be partial to; direction; face; out; to; toward
【医】 ad-; ak-; ob-

方程的英语翻译：

equation

专业解析

在随机过程与马尔可夫链理论中，后向方程（Backward Equation）指描述系统状态转移概率随时间演化的偏微分方程。其核心思想是通过逆向时间分析状态变化的概率规律，与前向方程（Forward Equation）构成柯尔莫哥洛夫方程组的两个组成部分。

从数学形式看，后向方程通常表示为： $$ frac{partial}{partial t} P{ij}(s,t) = sum{k eq i} q{ik}(s) P{kj}(s,t) $$ 其中 ( P{ij}(s,t) ) 表示从时刻 ( s ) 状态 ( i ) 转移到时刻 ( t ) 状态 ( j ) 的概率，( q{ik} ) 为状态转移速率参数。该方程通过推导状态在初始时刻 ( s ) 的微小变化对后续过程的影响，建立概率密度的动态关系。

在应用层面，后向方程常用于：

排队论中计算系统达到稳态前的过渡行为
金融数学中期权定价模型的随机微分方程求解
生物统计学对种群扩散过程的建模

其命名的“后向”特性体现在方程变量基于初始时刻 ( s ) 而非终止时刻 ( t )，这种逆向推导方法由数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫于1931年首次系统提出。

网络扩展解释

后向方程是数学和物理学中在不同领域具有特定含义的术语，以下是其核心解释及分类：

一、概率论中的柯尔莫哥洛夫后向方程

定义：用于描述马尔可夫过程转移概率随时间演化的偏微分方程，属于随机过程理论的核心工具。它通过初始条件的变化推导系统未来状态的概率分布。
数学形式：
$$ frac{partial}{partial t} P(s, x; t, y) = mathcal{A}_s P(s, x; t, y) $$
其中：

( P(s, x; t, y) ) 表示从时刻( s )状态( x )转移到时刻( t )状态( y )的概率；
( mathcal{A}_s ) 是生成元算子，与过程的局部特性相关。
应用场景：群体遗传学中研究基因频率随时间的变化（如提到的初始频率( p )作为随机变量的反向追溯过程）。

二、数值分析中的后向差分方程

定义：一种离散化微分方程的方法，通过当前时刻和下一时刻的值计算当前解，常用于提高数值稳定性。
数学形式（以一阶常微分方程为例）：
$$ u{i} = u{i+1} + Delta t cdot f(u{i+1}, t{i+1}) $$
其中：

( u_i ) 为时刻( t_i )的解；
( Delta t ) 为时间步长。
特点：属于隐式方法，适合求解刚性方程（如热传导方程），但计算复杂度较高。

三、核心区别与联系

维度	柯尔莫哥洛夫后向方程	后向差分方程
领域	概率论与随机过程	数值计算与微分方程离散化
时间方向	逆向推导初始条件的影响	逆向时间步长递推
典型应用	基因频率演化、金融模型	工程仿真、物理建模

四、扩展说明

前向方程对比：柯尔莫哥洛夫前向方程（Fokker-Planck方程）描述当前状态对未来的影响，而后向方程关注初始条件如何决定未来分布。
数值稳定性：后向差分法因隐式特性，在迭代中需解方程组，但能避免显式方法的不稳定性问题。

如需进一步了解具体领域（如生物学或计算数学）的应用案例，可参考相关文献或专业教材。