凱萊－哈蜜頓定理英文解釋翻譯、凱萊－哈蜜頓定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 Cayley-Hamilton theorem

分詞翻譯：

凱的英語翻譯：

triumphant

哈的英語翻譯：

蜜的英語翻譯：

honey; sweet

頓的英語翻譯：

pause; suddenly; arrange

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

凱萊－哈密頓定理（Cayley-Hamilton Theorem）是線性代數中的核心定理之一，其表述為：每個方陣都滿足自身的特征方程。具體而言，若$A$是$n times n$的方陣，其特征多項式為$p(lambda) = det(A - lambda I)$，則代入矩陣本身後滿足$p(A) = 0$，其中$0$表示零矩陣。

數學表達與内涵

設矩陣$A$的特征多項式為： $$ p(lambda) = (-1)^n lambda^n + c_{n-1}lambda^{n-1} + cdots + c_1lambda + c0, $$ 則根據定理： $$ p(A) = (-1)^n A^n + c{n-1}A^{n-1} + cdots + c_1 A + c_0 I = 0. $$ 這揭示了矩陣幂的高次項可通過低次項線性組合表示，為矩陣函數的計算（如矩陣指數$e^{A}$）提供了簡化工具。

曆史背景

該定理由英國數學家阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）和愛爾蘭數學家威廉·哈密頓（William Rowan Hamilton）在19世紀分别獨立提出。哈密頓最初在四元數研究中發現了類似結論，而凱萊則通過一般矩陣理論完善了證明。

應用領域

控制系統理論：用于分析線性時不變系統的穩定性。
量子力學：簡化算子的幂級數展開。
數值計算：降低矩陣多項式求值的複雜度，例如通過遞歸減少高階矩陣乘法。

參考文獻

定理的經典證明可參考《線性代數導論》（Gilbert Strang, 第5版）。
應用案例詳見學術資源平台arXiv的矩陣分析專題（鍊接因有效性限制省略，可檢索“Cayley-Hamilton Theorem applications”獲取最新研究）。

網絡擴展解釋

凱萊-哈密頓定理（Cayley-Hamilton Theorem）是線性代數中的核心定理之一，其核心思想可概括為：任何方陣都滿足自身的特征方程。以下是詳細解釋：

1. 數學表述

設 ( A ) 為 ( n times n ) 方陣，其特征多項式為： $$ p(lambda) = det(lambda I - A) = lambda^n + a_{n-1}lambda^{n-1} + cdots + a_1lambda + a0 $$ 凱萊-哈密頓定理斷言： $$ p(A) = A^n + a{n-1}A^{n-1} + cdots + a_1A + a_0I = 0 $$ 即用矩陣 ( A ) 替換特征多項式中的變量 ( lambda ) 後，結果為零矩陣。

2. 意義與等價性

核心意義：矩陣的運算可通過其特征多項式簡化，例如高階矩陣幂可用低次多項式表示。
等價表述：特征多項式能被極小多項式整除，這為若爾當标準形的構造提供了理論支持。

3. 證明思路

伴隨矩陣法（經典證明）：
通過展開 ( det(lambda I - A) ) 的伴隨矩陣 ( text{adj}(lambda I - A) )，結合多項式系數推導出 ( p(A) = 0 )。
模結構法：
将矩陣 ( A ) 視為線性變換，利用向量空間的模結構及多項式環的性質，證明特征多項式在模作用下的零化性。

4. 應用舉例

矩陣幂的簡化：
若 ( A^k )（( k geq n )）可通過 ( A^{n-1}, A^{n-2}, ldots, I ) 的線性組合表示，簡化計算。
控制系統分析：
在狀态空間模型中，用于驗證系統矩陣的穩定性。
若爾當标準形：
輔助分解矩陣為若爾當塊，簡化特征值問題的研究。

5. 補充說明

命名來源：由數學家阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）和威廉·哈密頓（William Hamilton）分别獨立提出。
適用範圍：定理對任意交換環上的方陣均成立，但常用場景為實數或複數域。

如需進一步了解證明細節或具體應用案例，可參考權威教材或數學百科（如、5、8）。