凯莱－哈蜜顿定理英文解释翻译、凯莱－哈蜜顿定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 Cayley-Hamilton theorem

分词翻译：

凯的英语翻译：

triumphant

哈的英语翻译：

蜜的英语翻译：

honey; sweet

顿的英语翻译：

pause; suddenly; arrange

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

凯莱－哈密顿定理（Cayley-Hamilton Theorem）是线性代数中的核心定理之一，其表述为：每个方阵都满足自身的特征方程。具体而言，若$A$是$n times n$的方阵，其特征多项式为$p(lambda) = det(A - lambda I)$，则代入矩阵本身后满足$p(A) = 0$，其中$0$表示零矩阵。

数学表达与内涵

设矩阵$A$的特征多项式为： $$ p(lambda) = (-1)^n lambda^n + c_{n-1}lambda^{n-1} + cdots + c_1lambda + c0, $$ 则根据定理： $$ p(A) = (-1)^n A^n + c{n-1}A^{n-1} + cdots + c_1 A + c_0 I = 0. $$ 这揭示了矩阵幂的高次项可通过低次项线性组合表示，为矩阵函数的计算（如矩阵指数$e^{A}$）提供了简化工具。

历史背景

该定理由英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）和爱尔兰数学家威廉·哈密顿（William Rowan Hamilton）在19世纪分别独立提出。哈密顿最初在四元数研究中发现了类似结论，而凯莱则通过一般矩阵理论完善了证明。

应用领域

控制系统理论：用于分析线性时不变系统的稳定性。
量子力学：简化算子的幂级数展开。
数值计算：降低矩阵多项式求值的复杂度，例如通过递归减少高阶矩阵乘法。

参考文献

定理的经典证明可参考《线性代数导论》（Gilbert Strang, 第5版）。
应用案例详见学术资源平台arXiv的矩阵分析专题（链接因有效性限制省略，可检索“Cayley-Hamilton Theorem applications”获取最新研究）。

网络扩展解释

凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamilton Theorem）是线性代数中的核心定理之一，其核心思想可概括为：任何方阵都满足自身的特征方程。以下是详细解释：

1. 数学表述

设 ( A ) 为 ( n times n ) 方阵，其特征多项式为： $$ p(lambda) = det(lambda I - A) = lambda^n + a_{n-1}lambda^{n-1} + cdots + a_1lambda + a0 $$ 凯莱-哈密顿定理断言： $$ p(A) = A^n + a{n-1}A^{n-1} + cdots + a_1A + a_0I = 0 $$ 即用矩阵 ( A ) 替换特征多项式中的变量 ( lambda ) 后，结果为零矩阵。

2. 意义与等价性

核心意义：矩阵的运算可通过其特征多项式简化，例如高阶矩阵幂可用低次多项式表示。
等价表述：特征多项式能被极小多项式整除，这为若尔当标准形的构造提供了理论支持。

3. 证明思路

伴随矩阵法（经典证明）：
通过展开 ( det(lambda I - A) ) 的伴随矩阵 ( text{adj}(lambda I - A) )，结合多项式系数推导出 ( p(A) = 0 )。
模结构法：
将矩阵 ( A ) 视为线性变换，利用向量空间的模结构及多项式环的性质，证明特征多项式在模作用下的零化性。

4. 应用举例

矩阵幂的简化：
若 ( A^k )（( k geq n )）可通过 ( A^{n-1}, A^{n-2}, ldots, I ) 的线性组合表示，简化计算。
控制系统分析：
在状态空间模型中，用于验证系统矩阵的稳定性。
若尔当标准形：
辅助分解矩阵为若尔当块，简化特征值问题的研究。

5. 补充说明

命名来源：由数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）和威廉·哈密顿（William Hamilton）分别独立提出。
适用范围：定理对任意交换环上的方阵均成立，但常用场景为实数或复数域。

如需进一步了解证明细节或具体应用案例，可参考权威教材或数学百科（如、5、8）。