矩陣運算英文解釋翻譯、矩陣運算的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix operation

分詞翻譯：

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

運算的英語翻譯：

operation
【計】 O; OP; operation

專業解析

矩陣運算（Matrix Operations）是線性代數的核心概念，指對矩陣進行一系列數學操作的過程。以下是其詳細解釋及相關術語的中英對照與權威定義：

一、矩陣的定義（Definition of Matrix）

矩陣是由行（rows）和列（columns）排列成的矩形數組，元素通常為實數或複數。

數學表示：

若矩陣 ( A ) 有 ( m ) 行 ( n ) 列，則記為 ( A{m times n} )，元素為 ( a{ij} )（( i ) 為行號，( j ) 為列號）。

來源：同濟大學《線性代數》（第七版），高等教育出版社。

二、基本矩陣運算類型

1.矩陣加法（Matrix Addition）

兩個同維矩陣 ( A ) 和 ( B ) 相加，結果矩陣 ( C ) 的每個元素滿足：

[ c{ij} = a{ij} + b_{ij} ]

條件：兩矩陣必須行數、列數相同。

來源：Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（第五版），Wellesley-Cambridge Press.

2.矩陣減法（Matrix Subtraction）

類似加法，元素滿足：

[ c{ij} = a{ij} - b_{ij} ]

條件：同維矩陣方可相減。

3.标量乘法（Scalar Multiplication）

矩陣 ( A ) 與标量 ( k ) 相乘：

[ (kA){ij} = k cdot a{ij} ]

4.矩陣乘法（Matrix Multiplication）

若 ( A ) 是 ( m times n ) 矩陣，( B ) 是 ( n times p ) 矩陣，則乘積 ( C = AB ) 的維度為 ( m times p )，元素計算為：

[ c{ij} = sum{k=1}^{n} a{ik} b{kj} ]

關鍵點：左矩陣列數必須等于右矩陣行數。

來源：Khan Academy, "Matrix multiplication"

5.轉置（Transpose）

将矩陣的行列互換得到轉置矩陣 ( A^T )，滿足：

[ (A^T){ij} = A{ji} ]

性質：( (AB)^T = B^T A^T )。

6.逆矩陣（Matrix Inversion）

若方陣 ( A ) 可逆，則存在唯一矩陣 ( A^{-1} ) 使得：

[ AA^{-1} = A^{-1}A = I ]

（( I ) 為單位矩陣）

條件：僅當 ( A ) 為滿秩方陣（行列式非零）。

來源：MIT OpenCourseWare, "Linear Algebra Lecture Notes"

三、特殊運算與應用

行列式（Determinant）：
僅適用于方陣，記為 ( det(A) ) 或 ( |A| )，用于判斷矩陣可逆性及求解線性方程組。

特征值與特征向量（Eigenvalues & Eigenvectors）：
滿足 ( Amathbf{v} = lambda mathbf{v} ) 的标量 ( lambda ) 和向量 ( mathbf{v} )，廣泛應用于物理和工程中的穩定性分析。

矩陣分解（Matrix Decomposition）：
如LU分解、QR分解等，用于簡化計算（如求解線性方程組）。

四、實際應用領域

計算機圖形學：3D變換（旋轉、縮放）通過矩陣乘法實現。
機器學習：神經網絡權重更新、主成分分析（PCA）依賴矩陣運算。
量子力學：态矢量運算使用狄拉克符號與矩陣表示。
經濟學：投入産出模型（Leontief模型）基于線性方程組求解。

綜合來源：

中國科學院數學與系統科學研究院，《線性代數及其應用》

Stanford University, "CS229: Machine Learning Course Materials"

以上内容涵蓋矩陣運算的核心定義、操作規則及跨學科應用，所有術語均提供中英對照，并引用權威教材與學術資源确保專業性。

網絡擴展解釋

矩陣運算是指對矩陣進行一系列數學操作的過程，這些操作線上性代數、計算機科學、物理學等領域有廣泛應用。以下是其核心概念和常見類型的詳細解釋：

一、基本概念

矩陣定義
矩陣是由數（或函數）排列成的矩形陣列，通常用大寫字母表示，例如： $$ A = begin{bmatrix} a{11} & a{12} a{21} & a{22} end{bmatrix} $$ 其中，$a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
維度
矩陣的維度由行數 $m$ 和列數 $n$ 決定，記為 $m times n$。例如，$2 times 3$ 的矩陣有2行3列。

二、常見矩陣運算類型

1.加減法

條件：兩個矩陣必須同維度（即行、列數相同）。
規則：對應位置的元素相加減。
示例：
$$ A + B = begin{bmatrix} a{11}+b{11} & a{12}+b{12} a{21}+b{21} & a{22}+b{22} end{bmatrix} $$

2.數乘運算

規則：标量與矩陣的每個元素相乘。
示例：
$$ 3A = begin{bmatrix} 3a{11} & 3a{12} 3a{21} & 3a{22} end{bmatrix} $$

3.矩陣乘法

條件：第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數。
規則：乘積矩陣的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是第一個矩陣第 $i$ 行與第二個矩陣第 $j$ 列的點積。
示例：
$$ C = A cdot B = begin{bmatrix} a{11}b{11} + a{12}b{21} & a{11}b{12} + a{12}b{22} a{21}b{11} + a{22}b{21} & a{21}b{12} + a{22}b{22} end{bmatrix} $$
特性：不滿足交換律（即 $AB eq BA$）。

4.轉置

規則：将矩陣的行和列互換，記為 $A^T$。
示例：
$$ A^T = begin{bmatrix} a{11} & a{21} a{12} & a{22} end{bmatrix} $$

5.逆矩陣

條件：僅方陣（行數=列數）且行列式不為零時存在逆矩陣。
規則：滿足 $A cdot A^{-1} = I$（$I$ 為單位矩陣）。
計算：通過伴隨矩陣和行列式求逆，例如：
$$ A^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot text{adj}(A) $$

三、特殊矩陣運算

點乘（Hadamard積）
- 同維度矩陣對應元素相乘，結果保持原維度。
克羅内克積（Kronecker積）
- 将兩個矩陣擴展為分塊矩陣的運算。

四、應用場景

計算機圖形學：通過矩陣變換實現平移、旋轉等操作。
機器學習：數據特征處理（如協方差矩陣）和神經網絡權重計算。
物理學：描述量子力學中的态矢量變換。
經濟學：投入産出分析中的線性方程組求解。

五、注意事項

矩陣乘法不滿足交換律，需注意運算順序。
逆矩陣僅存在于非奇異方陣中。
矩陣運算的複雜度較高，實際應用中需優化算法（如分塊乘法）。

矩陣運算通過結構化數據的高效操作，成為現代科學與工程中不可或缺的工具。