矩阵运算英文解释翻译、矩阵运算的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 matrix operation

分词翻译：

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

运算的英语翻译：

operation
【计】 O; OP; operation

专业解析

矩阵运算（Matrix Operations）是线性代数的核心概念，指对矩阵进行一系列数学操作的过程。以下是其详细解释及相关术语的中英对照与权威定义：

一、矩阵的定义（Definition of Matrix）

矩阵是由行（rows）和列（columns）排列成的矩形数组，元素通常为实数或复数。

数学表示：

若矩阵 ( A ) 有 ( m ) 行 ( n ) 列，则记为 ( A{m times n} )，元素为 ( a{ij} )（( i ) 为行号，( j ) 为列号）。

来源：同济大学《线性代数》（第七版），高等教育出版社。

二、基本矩阵运算类型

1.矩阵加法（Matrix Addition）

两个同维矩阵 ( A ) 和 ( B ) 相加，结果矩阵 ( C ) 的每个元素满足：

[ c{ij} = a{ij} + b_{ij} ]

条件：两矩阵必须行数、列数相同。

来源：Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（第五版），Wellesley-Cambridge Press.

2.矩阵减法（Matrix Subtraction）

类似加法，元素满足：

[ c{ij} = a{ij} - b_{ij} ]

条件：同维矩阵方可相减。

3.标量乘法（Scalar Multiplication）

矩阵 ( A ) 与标量 ( k ) 相乘：

[ (kA){ij} = k cdot a{ij} ]

4.矩阵乘法（Matrix Multiplication）

若 ( A ) 是 ( m times n ) 矩阵，( B ) 是 ( n times p ) 矩阵，则乘积 ( C = AB ) 的维度为 ( m times p )，元素计算为：

[ c{ij} = sum{k=1}^{n} a{ik} b{kj} ]

关键点：左矩阵列数必须等于右矩阵行数。

来源：Khan Academy, "Matrix multiplication"

5.转置（Transpose）

将矩阵的行列互换得到转置矩阵 ( A^T )，满足：

[ (A^T){ij} = A{ji} ]

性质：( (AB)^T = B^T A^T )。

6.逆矩阵（Matrix Inversion）

若方阵 ( A ) 可逆，则存在唯一矩阵 ( A^{-1} ) 使得：

[ AA^{-1} = A^{-1}A = I ]

（( I ) 为单位矩阵）

条件：仅当 ( A ) 为满秩方阵（行列式非零）。

来源：MIT OpenCourseWare, "Linear Algebra Lecture Notes"

三、特殊运算与应用

行列式（Determinant）：
仅适用于方阵，记为 ( det(A) ) 或 ( |A| )，用于判断矩阵可逆性及求解线性方程组。

特征值与特征向量（Eigenvalues & Eigenvectors）：
满足 ( Amathbf{v} = lambda mathbf{v} ) 的标量 ( lambda ) 和向量 ( mathbf{v} )，广泛应用于物理和工程中的稳定性分析。

矩阵分解（Matrix Decomposition）：
如LU分解、QR分解等，用于简化计算（如求解线性方程组）。

四、实际应用领域

计算机图形学：3D变换（旋转、缩放）通过矩阵乘法实现。
机器学习：神经网络权重更新、主成分分析（PCA）依赖矩阵运算。
量子力学：态矢量运算使用狄拉克符号与矩阵表示。
经济学：投入产出模型（Leontief模型）基于线性方程组求解。

综合来源：

中国科学院数学与系统科学研究院，《线性代数及其应用》

Stanford University, "CS229: Machine Learning Course Materials"

以上内容涵盖矩阵运算的核心定义、操作规则及跨学科应用，所有术语均提供中英对照，并引用权威教材与学术资源确保专业性。

网络扩展解释

矩阵运算是指对矩阵进行一系列数学操作的过程，这些操作在线性代数、计算机科学、物理学等领域有广泛应用。以下是其核心概念和常见类型的详细解释：

一、基本概念

矩阵定义
矩阵是由数（或函数）排列成的矩形阵列，通常用大写字母表示，例如： $$ A = begin{bmatrix} a{11} & a{12} a{21} & a{22} end{bmatrix} $$ 其中，$a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
维度
矩阵的维度由行数 $m$ 和列数 $n$ 决定，记为 $m times n$。例如，$2 times 3$ 的矩阵有2行3列。

二、常见矩阵运算类型

1.加减法

条件：两个矩阵必须同维度（即行、列数相同）。
规则：对应位置的元素相加减。
示例：
$$ A + B = begin{bmatrix} a{11}+b{11} & a{12}+b{12} a{21}+b{21} & a{22}+b{22} end{bmatrix} $$

2.数乘运算

规则：标量与矩阵的每个元素相乘。
示例：
$$ 3A = begin{bmatrix} 3a{11} & 3a{12} 3a{21} & 3a{22} end{bmatrix} $$

3.矩阵乘法

条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
规则：乘积矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是第一个矩阵第 $i$ 行与第二个矩阵第 $j$ 列的点积。
示例：
$$ C = A cdot B = begin{bmatrix} a{11}b{11} + a{12}b{21} & a{11}b{12} + a{12}b{22} a{21}b{11} + a{22}b{21} & a{21}b{12} + a{22}b{22} end{bmatrix} $$
特性：不满足交换律（即 $AB eq BA$）。

4.转置

规则：将矩阵的行和列互换，记为 $A^T$。
示例：
$$ A^T = begin{bmatrix} a{11} & a{21} a{12} & a{22} end{bmatrix} $$

5.逆矩阵

条件：仅方阵（行数=列数）且行列式不为零时存在逆矩阵。
规则：满足 $A cdot A^{-1} = I$（$I$ 为单位矩阵）。
计算：通过伴随矩阵和行列式求逆，例如：
$$ A^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot text{adj}(A) $$

三、特殊矩阵运算

点乘（Hadamard积）
- 同维度矩阵对应元素相乘，结果保持原维度。
克罗内克积（Kronecker积）
- 将两个矩阵扩展为分块矩阵的运算。

四、应用场景

计算机图形学：通过矩阵变换实现平移、旋转等操作。
机器学习：数据特征处理（如协方差矩阵）和神经网络权重计算。
物理学：描述量子力学中的态矢量变换。
经济学：投入产出分析中的线性方程组求解。

五、注意事项

矩阵乘法不满足交换律，需注意运算顺序。
逆矩阵仅存在于非奇异方阵中。
矩阵运算的复杂度较高，实际应用中需优化算法（如分块乘法）。

矩阵运算通过结构化数据的高效操作，成为现代科学与工程中不可或缺的工具。