拉蓋爾多項式英文解釋翻譯、拉蓋爾多項式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 laguerre's polynomials

分詞翻譯：

拉的英語翻譯：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【機】 pull; tension; tractive

蓋的英語翻譯：

about; annex; canopy; casing; cover; lid; shell; top; build
【化】 cap; cover; lid
【醫】 cap; coping; operculum; roof; tegmen; tegmentum; veil

爾的英語翻譯：

like so; you

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

專業解析

拉蓋爾多項式（Laguerre Polynomials）是數學物理中一類重要的正交多項式，在量子力學、概率論及數值分析中有廣泛應用。以下從漢英詞典角度進行詳細解釋：

一、定義與數學表達

中文：拉蓋爾多項式

英文：Laguerre Polynomials

定義：拉蓋爾多項式是微分方程

$$ xfrac{dy}{dx} + (1-x)frac{dy}{dx} + ny = 0 $$

的解，其中 ( n ) 為非負整數（階數）。标準形式 ( L_n(x) ) 可通過Rodrigues公式定義：

$$ L_n(x) = frac{e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x}) $$

二、核心性質

正交性
在區間 ([0, infty)) 上，拉蓋爾多項式關于權函數 ( e^{-x} ) 正交：

$$ int_0^infty e^{-x} L_m(x) Ln(x)dx = delta{mn} $$

這一性質在量子力學中用于構建氫原子波函數。
遞推關系
滿足遞推公式：

$$ (n+1)L_{n+1}(x) = (2n+1-x)Ln(x) - nL{n-1}(x) $$

便于數值計算。

三、關聯多項式

廣義拉蓋爾多項式（Associated Laguerre Polynomials）
英文：Associated Laguerre Polynomials

定義：( L_n^k(x) = frac{d^k}{dx^k} L_n(x) )（( k ) 為導數階數），用于描述氫原子徑向波函數。

四、應用場景

量子力學
氫原子薛定谔方程的徑向解由廣義拉蓋爾多項式表示，例如：

$$ R{nl}(r) propto e^{-r/(na)} r^l L{n-l-1}^{2l+1}(2r/(na)) $$

其中 ( a ) 為玻爾半徑。
概率論
在泊松過程、排隊論中用于計算概率密度函數。
數值分析
作為高斯-拉蓋爾求積公式的權函數，用于計算積分：

$$ int0^infty e^{-x} f(x)dx approx sum{i=1}^n w_i f(x_i) $$

其中 ( x_i ) 為 ( L_n(x) ) 的零點。

權威參考文獻

MathWorld - Laguerre Polynomial 定義與性質
Laguerre Polynomial - Wolfram MathWorld

DLMF (NIST) - 廣義拉蓋爾多項式與量子力學應用
Associated Laguerre Polynomials - NIST Digital Library

Springer Encyclopedia - 遞推關系與數值方法
Orthogonal Polynomials in Numerical Analysis

Quantum Mechanics Texts - 氫原子波函數推導
Griffiths, D. J. - Introduction to Quantum Mechanics, Ch.4

（注：鍊接有效性以實際訪問為準，部分需機構權限）

網絡擴展解釋

拉蓋爾多項式（Laguerre Polynomials）是一類重要的正交多項式，由法國數學家埃德蒙·拉蓋爾提出，在數學和物理學中有廣泛應用。以下是綜合權威來源的詳細解釋：

1.定義與數學形式

拉蓋爾多項式是拉蓋爾方程的标準解，該方程為二階線性微分方程： $$ xy'' + (1 - x)y' + ny = 0 quad (n text{為非負整數}) $$ 其顯式表達式可通過羅德裡格公式表示： $$ L_n(x) = frac{e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x}) $$ 當參數擴展為連帶拉蓋爾多項式時，方程形式變為： $$ x y'' + (alpha + 1 - x)y' + n y = 0 quad (alpha text{為實數}) $$ 此時解稱為連帶拉蓋爾多項式（當$alpha=0$時即為标準形式）。

2.核心性質

正交性：在區間$[0, +infty)$上，帶權函數$e^{-x}$正交，即： $$ int_0^infty e^{-x} L_m(x) Ln(x) dx = delta{mn} $$ 其中$delta_{mn}$為克羅内克δ符號。
遞推關系：滿足遞推公式，如： $$ (n+1)L_{n+1}(x) = (2n+1-x)Ln(x) - n L{n-1}(x) $$ 。
生成函數：可通過母函數展開為多項式序列。

3.應用領域

量子力學：用于描述氫原子徑向波函數，形式為$L_{n-l-1}^{2l+1}(2r/na_mu)$，其中$n$和$l$為量子數。
概率與統計：與Gamma分布相關，作為其正交基函數。
數值計算：用于高斯積分法中計算形如$int_0^infty f(x)e^{-x}dx$的積分。

4.示例多項式

前幾項拉蓋爾多項式為：

$L_0(x) = 1$
$L_1(x) = -x + 1$
$L_2(x) = frac{1}{2}(x - 4x + 2)$ 更高次項可通過遞推或微分公式生成。

若需進一步了解具體推導或應用場景，可參考物理學中的氫原子模型或正交多項式理論教材。