拉盖尔多项式英文解释翻译、拉盖尔多项式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 laguerre's polynomials

分词翻译：

拉的英语翻译：

pull; draw; drag in; draught; haul; pluck
【机】 pull; tension; tractive

盖的英语翻译：

about; annex; canopy; casing; cover; lid; shell; top; build
【化】 cap; cover; lid
【医】 cap; coping; operculum; roof; tegmen; tegmentum; veil

尔的英语翻译：

like so; you

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

专业解析

拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）是数学物理中一类重要的正交多项式，在量子力学、概率论及数值分析中有广泛应用。以下从汉英词典角度进行详细解释：

一、定义与数学表达

中文：拉盖尔多项式

英文：Laguerre Polynomials

定义：拉盖尔多项式是微分方程

$$ xfrac{dy}{dx} + (1-x)frac{dy}{dx} + ny = 0 $$

的解，其中 ( n ) 为非负整数（阶数）。标准形式 ( L_n(x) ) 可通过Rodrigues公式定义：

$$ L_n(x) = frac{e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x}) $$

二、核心性质

正交性
在区间 ([0, infty)) 上，拉盖尔多项式关于权函数 ( e^{-x} ) 正交：

$$ int_0^infty e^{-x} L_m(x) Ln(x)dx = delta{mn} $$

这一性质在量子力学中用于构建氢原子波函数。
递推关系
满足递推公式：

$$ (n+1)L_{n+1}(x) = (2n+1-x)Ln(x) - nL{n-1}(x) $$

便于数值计算。

三、关联多项式

广义拉盖尔多项式（Associated Laguerre Polynomials）
英文：Associated Laguerre Polynomials

定义：( L_n^k(x) = frac{d^k}{dx^k} L_n(x) )（( k ) 为导数阶数），用于描述氢原子径向波函数。

四、应用场景

量子力学
氢原子薛定谔方程的径向解由广义拉盖尔多项式表示，例如：

$$ R{nl}(r) propto e^{-r/(na)} r^l L{n-l-1}^{2l+1}(2r/(na)) $$

其中 ( a ) 为玻尔半径。
概率论
在泊松过程、排队论中用于计算概率密度函数。
数值分析
作为高斯-拉盖尔求积公式的权函数，用于计算积分：

$$ int0^infty e^{-x} f(x)dx approx sum{i=1}^n w_i f(x_i) $$

其中 ( x_i ) 为 ( L_n(x) ) 的零点。

权威参考文献

MathWorld - Laguerre Polynomial 定义与性质
Laguerre Polynomial - Wolfram MathWorld

DLMF (NIST) - 广义拉盖尔多项式与量子力学应用
Associated Laguerre Polynomials - NIST Digital Library

Springer Encyclopedia - 递推关系与数值方法
Orthogonal Polynomials in Numerical Analysis

Quantum Mechanics Texts - 氢原子波函数推导
Griffiths, D. J. - Introduction to Quantum Mechanics, Ch.4

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网络扩展解释

拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）是一类重要的正交多项式，由法国数学家埃德蒙·拉盖尔提出，在数学和物理学中有广泛应用。以下是综合权威来源的详细解释：

1.定义与数学形式

拉盖尔多项式是拉盖尔方程的标准解，该方程为二阶线性微分方程： $$ xy'' + (1 - x)y' + ny = 0 quad (n text{为非负整数}) $$ 其显式表达式可通过罗德里格公式表示： $$ L_n(x) = frac{e^x}{n!} frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x}) $$ 当参数扩展为连带拉盖尔多项式时，方程形式变为： $$ x y'' + (alpha + 1 - x)y' + n y = 0 quad (alpha text{为实数}) $$ 此时解称为连带拉盖尔多项式（当$alpha=0$时即为标准形式）。

2.核心性质

正交性：在区间$[0, +infty)$上，带权函数$e^{-x}$正交，即： $$ int_0^infty e^{-x} L_m(x) Ln(x) dx = delta{mn} $$ 其中$delta_{mn}$为克罗内克δ符号。
递推关系：满足递推公式，如： $$ (n+1)L_{n+1}(x) = (2n+1-x)Ln(x) - n L{n-1}(x) $$ 。
生成函数：可通过母函数展开为多项式序列。

3.应用领域

量子力学：用于描述氢原子径向波函数，形式为$L_{n-l-1}^{2l+1}(2r/na_mu)$，其中$n$和$l$为量子数。
概率与统计：与Gamma分布相关，作为其正交基函数。
数值计算：用于高斯积分法中计算形如$int_0^infty f(x)e^{-x}dx$的积分。

4.示例多项式

前几项拉盖尔多项式为：

$L_0(x) = 1$
$L_1(x) = -x + 1$
$L_2(x) = frac{1}{2}(x - 4x + 2)$ 更高次项可通过递推或微分公式生成。

若需进一步了解具体推导或应用场景，可参考物理学中的氢原子模型或正交多项式理论教材。