曲線的曲率英文解釋翻譯、曲線的曲率的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【建】 curvature of curve

分詞翻譯：

曲線的英語翻譯：

curve
【醫】 curve
【經】 curve

曲率的英語翻譯：

curvature
【電】 curvature

專業解析

在數學和幾何學中，曲線的曲率（Curvature）是描述曲線在某一點處彎曲程度或偏離直線程度的精确度量。其漢英詞典角度的詳細解釋如下：

一、核心定義

中文釋義
曲率表示曲線局部彎曲的劇烈程度。當曲線在某點彎曲越明顯，該點的曲率值越大；直線則處處曲率為零。
英文對應術語
- Curvature（标準術語）
  Example: The curvature of a circle is constant at every point.
- Bending degree（彎曲程度，非正式表達）
- Rate of deviation from a straight line（偏離直線的速率）

二、數學定義與公式

曲率 ( kappa )（kappa）的嚴格數學定義為：

$$ kappa = left| frac{dmathbf{T}}{ds} right| $$

其中：

( mathbf{T} ) 是曲線的單位切向量，
( s ) 是弧長參數。
對于平面直角坐标系中的函數 ( y = f(x) )，曲率公式可簡化為：

$$ kappa = frac{|y''|}{(1 + (y'))^{3/2}} $$

來源：

《數學名詞》（科學出版社，中科院審定）
Mathematical Analysis by Tom M. Apostol (Addison-Wesley)

三、物理意義與幾何解釋

曲率半徑（Radius of Curvature）
曲率 ( kappa ) 的倒數稱為曲率半徑 ( rho = frac{1}{kappa} )，幾何上對應曲線在該點處最佳拟合圓的半徑（密切圓）。

Example: 圓的曲率半徑即其自身半徑。
彎曲方向
曲率可帶符號（有向曲率），正負表示彎曲方向（如凸向上或凸向下）。

來源：

Differential Geometry of Curves and Surfaces by Manfredo P. do Carmo (Prentice-Hall)

四、應用場景

工程學：道路設計、機械零件應力分析需計算曲率以避免斷裂。
計算機圖形學：三維建模中通過曲率優化曲面平滑度。
物理學：描述粒子在磁場中的運動軌迹（如回旋半徑與曲率關系）。

來源：

《工程數學手冊》（機械工業出版社）
Computer Graphics: Principles and Practice (Addison-Wesley)

五、典型曲線曲率對比

曲線類型	曲率 ( kappa )	曲率半徑 ( rho )
直線	( 0 )	( infty )
圓（半徑 ( r )）	( frac{1}{r} )（處處恒定）	( r )
抛物線 ( y=x )	( frac{2}{(1+4x)^{3/2}} )	( frac{(1+4x)^{3/2}}{2} )

來源：

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart (Cengage Learning)

網絡擴展解釋

曲線的曲率是描述曲線在某一點處彎曲程度的幾何量，其數學定義和計算方式如下：

1.直觀理解

曲率反映了曲線偏離直線的程度：

直線的曲率為0（無彎曲）
圓上每一點的曲率相同，等于半徑的倒數（半徑越小，曲率越大）

2.數學定義

對于平面曲線 ( y = f(x) )，曲率公式為： $$ kappa = frac{|y''|}{left(1 + (y')right)^{3/2}} $$ 其中 ( y' ) 和 ( y'' ) 分别是函數的一階和二階導數。

對于參數方程 ( mathbf{r}(t) = (x(t), y(t)) )，曲率公式為： $$ kappa = frac{|x'y'' - y'x''|}{left( (x') + (y') right)^{3/2}} $$

3.幾何意義

曲率半徑：曲率的倒數 ( R = 1/kappa )，表示與曲線在該點最密接的圓的半徑。
方向：曲率帶符號時，可表示曲線彎曲方向（如左彎/右彎）。

4.示例

直線：( y = kx + b )，計算得 ( kappa = 0 )。
圓：半徑 ( R ) 的圓，曲率 ( kappa = 1/R )。

5.應用

曲率在工程、物理、計算機圖形學中廣泛應用，例如：

道路設計中的彎道半徑計算
機器人路徑規劃的平滑度分析
三維建模中的曲面平滑處理

如需進一步了解曲率在空間曲線中的推廣（涉及撓率等概念），可補充說明三維情形。