曲线的曲率英文解释翻译、曲线的曲率的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【建】 curvature of curve

分词翻译：

曲线的英语翻译：

curve
【医】 curve
【经】 curve

曲率的英语翻译：

curvature
【电】 curvature

专业解析

在数学和几何学中，曲线的曲率（Curvature）是描述曲线在某一点处弯曲程度或偏离直线程度的精确度量。其汉英词典角度的详细解释如下：

一、核心定义

中文释义
曲率表示曲线局部弯曲的剧烈程度。当曲线在某点弯曲越明显，该点的曲率值越大；直线则处处曲率为零。
英文对应术语
- Curvature（标准术语）
  Example: The curvature of a circle is constant at every point.
- Bending degree（弯曲程度，非正式表达）
- Rate of deviation from a straight line（偏离直线的速率）

二、数学定义与公式

曲率 ( kappa )（kappa）的严格数学定义为：

$$ kappa = left| frac{dmathbf{T}}{ds} right| $$

其中：

( mathbf{T} ) 是曲线的单位切向量，
( s ) 是弧长参数。
对于平面直角坐标系中的函数 ( y = f(x) )，曲率公式可简化为：

$$ kappa = frac{|y''|}{(1 + (y'))^{3/2}} $$

来源：

《数学名词》（科学出版社，中科院审定）
Mathematical Analysis by Tom M. Apostol (Addison-Wesley)

三、物理意义与几何解释

曲率半径（Radius of Curvature）
曲率 ( kappa ) 的倒数称为曲率半径 ( rho = frac{1}{kappa} )，几何上对应曲线在该点处最佳拟合圆的半径（密切圆）。

Example: 圆的曲率半径即其自身半径。
弯曲方向
曲率可带符号（有向曲率），正负表示弯曲方向（如凸向上或凸向下）。

来源：

Differential Geometry of Curves and Surfaces by Manfredo P. do Carmo (Prentice-Hall)

四、应用场景

工程学：道路设计、机械零件应力分析需计算曲率以避免断裂。
计算机图形学：三维建模中通过曲率优化曲面平滑度。
物理学：描述粒子在磁场中的运动轨迹（如回旋半径与曲率关系）。

来源：

《工程数学手册》（机械工业出版社）
Computer Graphics: Principles and Practice (Addison-Wesley)

五、典型曲线曲率对比

曲线类型	曲率 ( kappa )	曲率半径 ( rho )
直线	( 0 )	( infty )
圆（半径 ( r )）	( frac{1}{r} )（处处恒定）	( r )
抛物线 ( y=x )	( frac{2}{(1+4x)^{3/2}} )	( frac{(1+4x)^{3/2}}{2} )

来源：

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart (Cengage Learning)

网络扩展解释

曲线的曲率是描述曲线在某一点处弯曲程度的几何量，其数学定义和计算方式如下：

1.直观理解

曲率反映了曲线偏离直线的程度：

直线的曲率为0（无弯曲）
圆上每一点的曲率相同，等于半径的倒数（半径越小，曲率越大）

2.数学定义

对于平面曲线 ( y = f(x) )，曲率公式为： $$ kappa = frac{|y''|}{left(1 + (y')right)^{3/2}} $$ 其中 ( y' ) 和 ( y'' ) 分别是函数的一阶和二阶导数。

对于参数方程 ( mathbf{r}(t) = (x(t), y(t)) )，曲率公式为： $$ kappa = frac{|x'y'' - y'x''|}{left( (x') + (y') right)^{3/2}} $$

3.几何意义

曲率半径：曲率的倒数 ( R = 1/kappa )，表示与曲线在该点最密接的圆的半径。
方向：曲率带符号时，可表示曲线弯曲方向（如左弯/右弯）。

4.示例

直线：( y = kx + b )，计算得 ( kappa = 0 )。
圆：半径 ( R ) 的圆，曲率 ( kappa = 1/R )。

5.应用

曲率在工程、物理、计算机图形学中广泛应用，例如：

道路设计中的弯道半径计算
机器人路径规划的平滑度分析
三维建模中的曲面平滑处理

如需进一步了解曲率在空间曲线中的推广（涉及挠率等概念），可补充说明三维情形。