平面曲線英文解釋翻譯、平面曲線的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 plane curve

例句：

抛物線到一固定直線和不在直線上某一固定點等距的點的軌迹所形成的平面曲線
A plane curve formed by the locus of points equidistant from a fixed line and a fixed point not on the line.

分詞翻譯：

平面的英語翻譯：

flat; plane; surface
【醫】 flat; plane; planum

曲線的英語翻譯：

curve
【醫】 curve
【經】 curve

專業解析

在數學領域，"平面曲線"（英文：Plane Curve）指完全位于一個二維平面内的連續曲線。其核心特征在于所有點的坐标均滿足該平面内的特定方程關系。以下是詳細解釋：

一、定義與基本概念

維度限制
平面曲線存在于二維歐幾裡得平面（如笛卡爾坐标系）中，其點集可用二元方程描述。例如：
- 顯式方程：( y = f(x) )
- 隱式方程：( F(x, y) = 0 )
- 參數方程：( x = g(t), , y = h(t) )
  （來源：《數學辭海》幾何卷
連續性要求
曲線需滿足連續條件，排除孤立點或不連續軌迹。經典定義要求曲線是連續映射 ( gamma: [a,b] to mathbb{R} ) 的像（來源：《數學分析教程》。

二、關鍵數學特征

函數關系依賴性
平面曲線的本質是點集滿足特定約束方程。例如圓的标準方程 ( x + y = r ) 定義了一個封閉曲線。
分類與實例
- 代數曲線：由多項式方程定義（如橢圓、雙曲線）
- 超越曲線：涉及非多項式函數（如正弦曲線 ( y = sin x )）
  （參考：ISO 80000-2:2019 數學符號标準

三、應用場景

平面曲線理論支撐多個學科領域：

工程制圖：機械零件的輪廓設計
計算機圖形學：貝塞爾曲線生成矢量路徑
物理學：抛體運動軌迹建模（來源：《應用數學手冊》

四、漢英術語對照

中文術語	英文術語
平面曲線	Plane Curve
參數方程	Parametric Equation
曲率	Curvature
閉合曲線	Closed Curve

（術語表來源：《英漢數學詞彙》科學出版社

網絡擴展解釋

平面曲線是數學中常見的幾何概念，指所有點均位于同一平面内的連續曲線。以下從定義、分類、表示方式、基本屬性及應用場景進行詳細解釋：

1.定義

平面曲線是二維坐标系中由連續點集構成的軌迹，其數學本質可描述為：

參數方程：$mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，其中參數$t$在區間$I$内變化。
顯式方程：$y = f(x)$，例如抛物線$y = x$。
隱式方程：$F(x, y) = 0$，例如圓的方程$x + y = r$。

2.分類與屬性

平面曲線可根據不同特性分類：

閉合性：閉合曲線（如圓、橢圓）與非閉合曲線（如直線、抛物線）。
光滑性：光滑曲線（導數連續，如正弦曲線）與分段光滑曲線（如折線）。
簡單性：簡單曲線（無自交點，如螺旋線）與非簡單曲線（如雙紐線）。

3.經典例子

圓錐曲線：橢圓、抛物線、雙曲線，均由平面截圓錐所得。
多項式曲線：三次曲線$y = ax + bx + cx + d$。
超越曲線：正弦曲線$y = sin x$、指數曲線$y = e^x$。

4.應用領域

幾何與物理：描述行星軌道（橢圓）、抛體運動軌迹（抛物線）。
工程與設計：機械零件輪廓、建築曲面建模（如貝塞爾曲線）。
計算機圖形學：矢量圖形繪制、動畫路徑設計。

5.與空間曲線的區别

平面曲線嚴格限定在二維空間，而空間曲線（如螺旋線$mathbf{r}(t) = (cos t, sin t, t)$）存在于三維空間，具有更複雜的曲率和撓率屬性。

總結來看，平面曲線是二維幾何分析的基礎工具，其簡潔的數學表達和豐富的形态使其成為自然科學與工程技術中不可或缺的研究對象。