平面曲线英文解释翻译、平面曲线的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 plane curve

例句：

抛物线到一固定直线和不在直线上某一固定点等距的点的轨迹所形成的平面曲线
A plane curve formed by the locus of points equidistant from a fixed line and a fixed point not on the line.

分词翻译：

平面的英语翻译：

flat; plane; surface
【医】 flat; plane; planum

曲线的英语翻译：

curve
【医】 curve
【经】 curve

专业解析

在数学领域，"平面曲线"（英文：Plane Curve）指完全位于一个二维平面内的连续曲线。其核心特征在于所有点的坐标均满足该平面内的特定方程关系。以下是详细解释：

一、定义与基本概念

维度限制
平面曲线存在于二维欧几里得平面（如笛卡尔坐标系）中，其点集可用二元方程描述。例如：
- 显式方程：( y = f(x) )
- 隐式方程：( F(x, y) = 0 )
- 参数方程：( x = g(t), , y = h(t) )
  （来源：《数学辞海》几何卷
连续性要求
曲线需满足连续条件，排除孤立点或不连续轨迹。经典定义要求曲线是连续映射 ( gamma: [a,b] to mathbb{R} ) 的像（来源：《数学分析教程》。

二、关键数学特征

函数关系依赖性
平面曲线的本质是点集满足特定约束方程。例如圆的标准方程 ( x + y = r ) 定义了一个封闭曲线。
分类与实例
- 代数曲线：由多项式方程定义（如椭圆、双曲线）
- 超越曲线：涉及非多项式函数（如正弦曲线 ( y = sin x )）
  （参考：ISO 80000-2:2019 数学符号标准

三、应用场景

平面曲线理论支撑多个学科领域：

工程制图：机械零件的轮廓设计
计算机图形学：贝塞尔曲线生成矢量路径
物理学：抛体运动轨迹建模（来源：《应用数学手册》

四、汉英术语对照

中文术语	英文术语
平面曲线	Plane Curve
参数方程	Parametric Equation
曲率	Curvature
闭合曲线	Closed Curve

（术语表来源：《英汉数学词汇》科学出版社

网络扩展解释

平面曲线是数学中常见的几何概念，指所有点均位于同一平面内的连续曲线。以下从定义、分类、表示方式、基本属性及应用场景进行详细解释：

1.定义

平面曲线是二维坐标系中由连续点集构成的轨迹，其数学本质可描述为：

参数方程：$mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，其中参数$t$在区间$I$内变化。
显式方程：$y = f(x)$，例如抛物线$y = x$。
隐式方程：$F(x, y) = 0$，例如圆的方程$x + y = r$。

2.分类与属性

平面曲线可根据不同特性分类：

闭合性：闭合曲线（如圆、椭圆）与非闭合曲线（如直线、抛物线）。
光滑性：光滑曲线（导数连续，如正弦曲线）与分段光滑曲线（如折线）。
简单性：简单曲线（无自交点，如螺旋线）与非简单曲线（如双纽线）。

3.经典例子

圆锥曲线：椭圆、抛物线、双曲线，均由平面截圆锥所得。
多项式曲线：三次曲线$y = ax + bx + cx + d$。
超越曲线：正弦曲线$y = sin x$、指数曲线$y = e^x$。

4.应用领域

几何与物理：描述行星轨道（椭圆）、抛体运动轨迹（抛物线）。
工程与设计：机械零件轮廓、建筑曲面建模（如贝塞尔曲线）。
计算机图形学：矢量图形绘制、动画路径设计。

5.与空间曲线的区别

平面曲线严格限定在二维空间，而空间曲线（如螺旋线$mathbf{r}(t) = (cos t, sin t, t)$）存在于三维空间，具有更复杂的曲率和挠率属性。

总结来看，平面曲线是二维几何分析的基础工具，其简洁的数学表达和丰富的形态使其成为自然科学与工程技术中不可或缺的研究对象。