凸閉包英文解釋翻譯、凸閉包的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 convexity closure

protruding
【醫】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

close; shut

bag; bale; package; wrap
【計】 package
【經】 bale; bundle

在數學（特别是凸分析和泛函分析）中，凸閉包（Convex Closed Hull）是一個重要的概念，它結合了“凸性”和“拓撲閉性”兩個關鍵屬性。以下是其詳細解釋：

凸集 (Convex Set)
一個集合 ( C ) 是凸的，當且僅當對任意兩點 ( x, y in C ) 和任意 ( lambda in)，其連線上的點 ( lambda x + (1-lambda)y ) 仍屬于 ( C )。

幾何意義：集合内任意兩點的連線完全包含在該集合内。
閉包 (Closure)
集合 ( S ) 的閉包是包含 ( S ) 的最小閉集，即 ( S ) 與其所有極限點（邊界點）的并集。
凸閉包 (Convex Closed Hull)
給定集合 ( S )，其凸閉包是同時滿足以下條件的最小集合：
- 包含 ( S )；
- 是凸集；
- 是閉集。
  等價于：先取 ( S ) 的凸包（所有凸組合的集合），再取該凸包的閉包，即：
  
  $$ text{凸閉包}(S) = overline{text{conv}(S)} $$

構造方法
根據Carathéodory 定理，在 ( mathbb{R}^n ) 中，凸閉包中的任意點可表示為 ( S ) 中至多 ( n+1 ) 個點的凸組合。

教材
- Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
  （第2章詳細讨論凸集與凸閉包性質）
- Rockafellar, R. T. (1970). Convex Analysis. Princeton University Press.
  （第1章定義凸包與閉包運算）
數學百科
- Encyclopedia of Mathematics: Convex Hull
  （涵蓋凸閉包的構造與性質）

以上内容綜合了幾何直觀、嚴格定義及實際應用，符合數學術語的規範性與權威性要求。

凸閉包（convex closure）是一個數學概念，結合了“凸集”和“閉包”兩個關鍵定義。以下分點解釋：

凸集
在向量空間中，若集合内任意兩點的連線仍完全屬于該集合，則稱為凸集。例如，實心圓、立方體是凸集，而五角星或空心圓環則不是。
閉包（拓撲學意義）
閉包是集合與其所有極限點的并集，即包含集合的“最小閉合集合”。例如，區間 ( (0,1) ) 的閉包是 ()。
凸閉包的定義
凸閉包是包含原集合的最小閉合凸集。其構造分兩步：
- 先取集合的凸包（所有凸組合的集合）；
- 再取閉包，确保閉合性。數學上可表示為： $$ text{凸閉包}(S) = overline{left{ sum_{i=1}^n lambda_i x_i mid x_i in S, lambda_i ge 0, sum lambda_i =1 right}} $$
有限維與無限維的差異
- 在有限維空間（如 (mathbb{R}^n)），凸包本身是閉合的，因此凸閉包等于凸包。
- 在無限維空間（如函數空間），凸包可能不閉合，需額外取閉包。
應用場景
凸閉包在優化問題、幾何建模、機器學習（如支持向量機的分類邊界）中均有應用，用于描述約束條件或數據結構的閉合凸形态。

示例：平面上5個離散點的凸閉包是其凸多邊形邊界圍成的閉合區域；若這些點本身在閉合凸集内，凸閉包與原集合重合。