凸闭包英文解释翻译、凸闭包的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 convexity closure

protruding
【医】 convexity; cyrto-; prominence; prominentia

close; shut

bag; bale; package; wrap
【计】 package
【经】 bale; bundle

在数学（特别是凸分析和泛函分析）中，凸闭包（Convex Closed Hull）是一个重要的概念，它结合了“凸性”和“拓扑闭性”两个关键属性。以下是其详细解释：

凸集 (Convex Set)
一个集合 ( C ) 是凸的，当且仅当对任意两点 ( x, y in C ) 和任意 ( lambda in)，其连线上的点 ( lambda x + (1-lambda)y ) 仍属于 ( C )。

几何意义：集合内任意两点的连线完全包含在该集合内。
闭包 (Closure)
集合 ( S ) 的闭包是包含 ( S ) 的最小闭集，即 ( S ) 与其所有极限点（边界点）的并集。
凸闭包 (Convex Closed Hull)
给定集合 ( S )，其凸闭包是同时满足以下条件的最小集合：
- 包含 ( S )；
- 是凸集；
- 是闭集。
  等价于：先取 ( S ) 的凸包（所有凸组合的集合），再取该凸包的闭包，即：
  
  $$ text{凸闭包}(S) = overline{text{conv}(S)} $$

构造方法
根据Carathéodory 定理，在 ( mathbb{R}^n ) 中，凸闭包中的任意点可表示为 ( S ) 中至多 ( n+1 ) 个点的凸组合。

教材
- Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
  （第2章详细讨论凸集与凸闭包性质）
- Rockafellar, R. T. (1970). Convex Analysis. Princeton University Press.
  （第1章定义凸包与闭包运算）
数学百科
- Encyclopedia of Mathematics: Convex Hull
  （涵盖凸闭包的构造与性质）

以上内容综合了几何直观、严格定义及实际应用，符合数学术语的规范性与权威性要求。

凸闭包（convex closure）是一个数学概念，结合了“凸集”和“闭包”两个关键定义。以下分点解释：

凸集
在向量空间中，若集合内任意两点的连线仍完全属于该集合，则称为凸集。例如，实心圆、立方体是凸集，而五角星或空心圆环则不是。
闭包（拓扑学意义）
闭包是集合与其所有极限点的并集，即包含集合的“最小闭合集合”。例如，区间 ( (0,1) ) 的闭包是 ()。
凸闭包的定义
凸闭包是包含原集合的最小闭合凸集。其构造分两步：
- 先取集合的凸包（所有凸组合的集合）；
- 再取闭包，确保闭合性。数学上可表示为： $$ text{凸闭包}(S) = overline{left{ sum_{i=1}^n lambda_i x_i mid x_i in S, lambda_i ge 0, sum lambda_i =1 right}} $$
有限维与无限维的差异
- 在有限维空间（如 (mathbb{R}^n)），凸包本身是闭合的，因此凸闭包等于凸包。
- 在无限维空间（如函数空间），凸包可能不闭合，需额外取闭包。
应用场景
凸闭包在优化问题、几何建模、机器学习（如支持向量机的分类边界）中均有应用，用于描述约束条件或数据结构的闭合凸形态。

示例：平面上5个离散点的凸闭包是其凸多边形边界围成的闭合区域；若这些点本身在闭合凸集内，凸闭包与原集合重合。