同态象英文解釋翻譯、同态象的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 homomorphic image

分詞翻譯：

同态的英語翻譯：

【計】 homomorphism
【化】 homeomorphism; homomorphism

象的英語翻譯：

appearance; as; elephant; imitate; like; look as if; resemble; shape
take after; trigram
【法】 take after

專業解析

在抽象代數中，"同态象"（Homomorphic Image）指一個代數結構（如群、環、模）通過同态映射後得到的像集，該像集本身也構成同類型的代數結構，且運算關系被保持。以下是詳細解析：

一、術語構成與英文對應

1. 中文解析

   • 同态：指保持運算結構的映射（"同"表示結構相同，"态"指運算形态）。
   • 象：映射的像集（Image），即映射後元素的集合。

     對應英文術語"Homomorphic Image"，其中：

   • Homomorphic：源自希臘語 homos（相同）+ morphe（形态），表示結構保持。
   • Image：代數映射的像集。

2. 數學定義

   設 ( f: G to H ) 是群（或環、模）的同态映射，則同态象 指像集 ( text{Im}(f) = { f(g) mid g in G } )，其滿足：

   • ( text{Im}(f) ) 是 ( H ) 的子群（子環、子模）；
   • ( f ) 限制到 ( text{Im}(f) ) 是滿射，且運算繼承自 ( H )。

     例如：整數加法群 ( mathbb{Z} ) 通過模 ( n ) 同态 ( f: k mapsto k mod n ) 的同态象是循環群 ( mathbb{Z}/nmathbb{Z} )。

二、核心性質

1. 結構保持性

   同态象完全保留原結構的運算規則（如 ( f(a cdot b) = f(a) circ f(b) )），但可能丢失部分信息（如單射性）。

2. 同态基本定理

   對任意同态 ( f: G to H )，有 ( G / ker f cong text{Im}(f) )，表明同态象由核的商結構決定。

三、應用場景

• 密碼學：在橢圓曲線密碼中，同态象用于構造有限域上的群運算。
• 編碼理論：線性碼的同态象對應商空間，用于糾錯設計。

參考文獻

1. Springer《Encyclopedia of Mathematics》"Homomorphism"詞條
2. American Mathematical Society《Mathematical Definitions》"Homomorphic Image"

網絡擴展解釋

同态象是抽象代數和代數幾何學中的專業術語，指一個代數系統通過同态映射後形成的像結構。具體解釋如下：

一、核心定義

設兩個代數系統A=<S, , Δ, k>和A’=<S’, ’, Δ’, k’>，若存在同态映射f:S→S’滿足：

1. 運算保持性：$f(ab) = f(a) ' f(b)$
2. 一元運算保持性：$f(Δa) = Δ'f(a)$
3. 常數元映射：$f(k) = k'$

則代數系統<f(S), *’, Δ’, k’>稱為A在映射f下的同态象。

二、分類與特性

根據映射類型不同，同态象可分為：

1. 滿同态：當f是滿射時，A’本身就是A的同态象
2. 單一同态：若f是單射，則同态象<f(S), *’, Δ’, k’>與A同構
3. 同構：雙射映射下的同态象與原系統完全結構等價

三、數學意義

同态象保留了原代數系統的主要結構特征，但可能簡化或壓縮了某些信息。例如在群論中，同态象必為群；在環論中，同态象仍保持環結構。

該術語在密碼學、編碼理論等領域有重要應用，特别是在全同态加密等現代密碼方案中會涉及相關概念延伸。如需更嚴格的數學定義，可參考近世代數教材或專業文獻。

分類

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