特征值英文解釋翻譯、特征值的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

eigenvalue
【計】 characteristic value; flag value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue
【經】 characteristic value

分詞翻譯：

特的英語翻譯：

especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex

征的英語翻譯：

ask for; go on a campaign; go on a journey; levy; sign
【醫】 sign; signe; signum

值的英語翻譯：

cost; value; happen to; on duty
【醫】 number; titer; titre; value

專業解析

在數學和工程領域，特征值（英文：Eigenvalue）是線性代數中的一個核心概念，描述線性變換作用于特定向量（特征向量）時産生的純量縮放效應。以下從漢英詞典角度進行詳細解釋：

一、漢語術語解析

特征值由“特征”和“值”構成：

特征：指事物特有的屬性或本質；
值：指數學中的标量數值。
在數學語境中，特征值表征線性變換中保持方向不變的向量所對應的縮放比例。例如，矩陣 ( A ) 作用于特征向量 ( mathbf{v} ) 時，滿足方程：

$$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$

其中 ( lambda ) 即為特征值（來源：中國科學院數學與系統科學研究院術語庫）。

二、英語術語解析

Eigenvalue 源自德語詞彙 eigen（意為“自身的”或“特有的”），強調該數值與系統本身的固有屬性相關。其定義為：

A scalar associated with a linear transformation of a vector space, which when multiplied by a designated vector gives the same result as when the transformation operates on the vector.
（來源：Oxford Dictionary of Mathematics, 6th Edition）

三、數學表示與實例

設矩陣 ( A ) 為線性變換算子，特征值 ( lambda ) 和特征向量 ( mathbf{v} ) 滿足：

$$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$

示例：

若矩陣 ( A = begin{bmatrix} 2 & 10 & 3 end{bmatrix} )，其特征值可通過解方程 ( det(A - lambda I) = 0 ) 求得：

$$ detbegin{bmatrix} 2-lambda & 10 & 3-lambda end{bmatrix} = (2-lambda)(3-lambda) = 0 $$

解得特征值 ( lambda_1 = 2 ), ( lambda_2 = 3 )（來源：MIT OpenCourseWare, Linear Algebra Lecture Notes）。

四、應用場景

物理學：用于分析振動系統的固有頻率（如量子力學中的能量本征值）；
工程學：在結構力學中确定穩定性（特征值反映臨界載荷）；
數據科學：主成分分析（PCA）通過特征值降維（來源：Stanford University, Applied Linear Algebra）。

參考文獻

中國科學院數學與系統科學研究院. 《數學術語》.
Clapham, C. & Nicholson, J. Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press.
Strang, G. Linear Algebra and Its Applications. Brooks Cole.
MIT OpenCourseWare. Course 18.06: Linear Algebra.
Stanford Engineering. EE263: Introduction to Linear Dynamical Systems.

網絡擴展解釋

特征值是線性代數中的一個核心概念，主要用于描述矩陣在特定方向上的“縮放”作用。以下是詳細解釋：

1.基本定義

對于方陣( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )，使得： $$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$ 則稱( lambda )為矩陣( A )的特征值，( mathbf{v} )為對應的特征向量。簡單來說，特征值表示矩陣對特征向量方向的“拉伸或壓縮倍數”。

2.幾何意義

矩陣的線性變換可以分解為多個方向（特征向量）上的縮放操作，特征值即為這些方向上的縮放比例。
例如：若特征值為正數，表示向量方向不變；若為負數，方向反轉；若為複數，則可能涉及旋轉（常見于複數域矩陣）。

3.計算方法

求解特征方程：計算行列式 ( det(A - lambda I) = 0 )，其根即為特征值。
數值方法：對于大型矩陣，常用疊代法（如幂疊代、QR算法）近似求解。

4.應用領域

物理與工程：振動分析中，特征值對應系統的固有頻率，特征向量表示振型。
數據分析：主成分分析（PCA）通過協方差矩陣的特征值降維。
圖像處理：特征值用于壓縮（如奇異值分解）和特征提取。
量子力學：算子的特征值對應物理量的觀測值。

5.重要性質

迹與行列式：所有特征值之和等于矩陣的迹（( text{tr}(A) )），乘積等于行列式（( det(A) )）。
可對角化條件：若矩陣有足夠多的線性無關特征向量，則可對角化為特征值矩陣。
穩定性分析：微分方程中，特征值的實部符號決定系統穩定性。

示例

對矩陣 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )，其特征方程為： $$ detleft( begin{pmatrix} 2-lambda & 11 & 2-lambda end{pmatrix} right) = (2-lambda) - 1 = 0 $$ 解得特征值 ( lambda_1 = 3 )，( lambda_2 = 1 )，對應特征向量分别為 ( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} ) 和 ( begin{pmatrix} 1-1 end{pmatrix} )。

總結來說，特征值揭示了矩陣在特定方向上的核心作用，廣泛應用于科學、工程和數據分析中。