特征值英文解释翻译、特征值的近义词、反义词、例句

英语翻译：

eigenvalue
【计】 characteristic value; flag value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue
【经】 characteristic value

分词翻译：

特的英语翻译：

especially; special; spy; unusual; very
【化】 tex

征的英语翻译：

ask for; go on a campaign; go on a journey; levy; sign
【医】 sign; signe; signum

值的英语翻译：

cost; value; happen to; on duty
【医】 number; titer; titre; value

专业解析

在数学和工程领域，特征值（英文：Eigenvalue）是线性代数中的一个核心概念，描述线性变换作用于特定向量（特征向量）时产生的纯量缩放效应。以下从汉英词典角度进行详细解释：

一、汉语术语解析

特征值由“特征”和“值”构成：

特征：指事物特有的属性或本质；
值：指数学中的标量数值。
在数学语境中，特征值表征线性变换中保持方向不变的向量所对应的缩放比例。例如，矩阵 ( A ) 作用于特征向量 ( mathbf{v} ) 时，满足方程：

$$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$

其中 ( lambda ) 即为特征值（来源：中国科学院数学与系统科学研究院术语库）。

二、英语术语解析

Eigenvalue 源自德语词汇 eigen（意为“自身的”或“特有的”），强调该数值与系统本身的固有属性相关。其定义为：

A scalar associated with a linear transformation of a vector space, which when multiplied by a designated vector gives the same result as when the transformation operates on the vector.
（来源：Oxford Dictionary of Mathematics, 6th Edition）

三、数学表示与实例

设矩阵 ( A ) 为线性变换算子，特征值 ( lambda ) 和特征向量 ( mathbf{v} ) 满足：

$$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$

示例：

若矩阵 ( A = begin{bmatrix} 2 & 10 & 3 end{bmatrix} )，其特征值可通过解方程 ( det(A - lambda I) = 0 ) 求得：

$$ detbegin{bmatrix} 2-lambda & 10 & 3-lambda end{bmatrix} = (2-lambda)(3-lambda) = 0 $$

解得特征值 ( lambda_1 = 2 ), ( lambda_2 = 3 )（来源：MIT OpenCourseWare, Linear Algebra Lecture Notes）。

四、应用场景

物理学：用于分析振动系统的固有频率（如量子力学中的能量本征值）；
工程学：在结构力学中确定稳定性（特征值反映临界载荷）；
数据科学：主成分分析（PCA）通过特征值降维（来源：Stanford University, Applied Linear Algebra）。

参考文献

中国科学院数学与系统科学研究院. 《数学术语》.
Clapham, C. & Nicholson, J. Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press.
Strang, G. Linear Algebra and Its Applications. Brooks Cole.
MIT OpenCourseWare. Course 18.06: Linear Algebra.
Stanford Engineering. EE263: Introduction to Linear Dynamical Systems.

网络扩展解释

特征值是线性代数中的一个核心概念，主要用于描述矩阵在特定方向上的“缩放”作用。以下是详细解释：

1.基本定义

对于方阵( A )，若存在非零向量( mathbf{v} )和标量( lambda )，使得： $$ Amathbf{v} = lambda mathbf{v} $$ 则称( lambda )为矩阵( A )的特征值，( mathbf{v} )为对应的特征向量。简单来说，特征值表示矩阵对特征向量方向的“拉伸或压缩倍数”。

2.几何意义

矩阵的线性变换可以分解为多个方向（特征向量）上的缩放操作，特征值即为这些方向上的缩放比例。
例如：若特征值为正数，表示向量方向不变；若为负数，方向反转；若为复数，则可能涉及旋转（常见于复数域矩阵）。

3.计算方法

求解特征方程：计算行列式 ( det(A - lambda I) = 0 )，其根即为特征值。
数值方法：对于大型矩阵，常用迭代法（如幂迭代、QR算法）近似求解。

4.应用领域

物理与工程：振动分析中，特征值对应系统的固有频率，特征向量表示振型。
数据分析：主成分分析（PCA）通过协方差矩阵的特征值降维。
图像处理：特征值用于压缩（如奇异值分解）和特征提取。
量子力学：算子的特征值对应物理量的观测值。

5.重要性质

迹与行列式：所有特征值之和等于矩阵的迹（( text{tr}(A) )），乘积等于行列式（( det(A) )）。
可对角化条件：若矩阵有足够多的线性无关特征向量，则可对角化为特征值矩阵。
稳定性分析：微分方程中，特征值的实部符号决定系统稳定性。

示例

对矩阵 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )，其特征方程为： $$ detleft( begin{pmatrix} 2-lambda & 11 & 2-lambda end{pmatrix} right) = (2-lambda) - 1 = 0 $$ 解得特征值 ( lambda_1 = 3 )，( lambda_2 = 1 )，对应特征向量分别为 ( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} ) 和 ( begin{pmatrix} 1-1 end{pmatrix} )。

总结来说，特征值揭示了矩阵在特定方向上的核心作用，广泛应用于科学、工程和数据分析中。