几何级数英文解释翻译、几何级数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 geometric progression
【经】 geometric progression

分词翻译：

几何的英语翻译：

geometry; how many; how much

级数的英语翻译：

progression; series
【经】 progression

专业解析

几何级数（Geometric Series）是数学分析中描述等比数列无限项之核心概念，其定义与性质在中英文语境中高度统一。根据《新汉英数学词汇手册》的定义，几何级数指“每一项与前一项的比值为常数的无限级数”，对应的英文术语为"geometric series"。

从数学表达式来看，标准几何级数可表示为： $$ sum_{n=0}^{infty} ar^n = a + ar + ar + cdots $$ 其中$a$为首项，$r$为公比（common ratio）。美国数学学会（AMS）特别强调，当$|r| < 1$时级数收敛于$frac{a}{1-r}$，而$|r| geq 1$时发散。

该级数在现实应用中有多重体现：

金融领域计算复利终值时，本金增长模型本质是几何级数求和
计算机科学中，递归算法的时间复杂度分析常涉及几何级数展开
工程领域用其描述信号衰减过程，如MIT开放式课程中电路分析的案例

与算术级数的线性增长不同，几何级数呈现指数级变化特征。牛津大学数学研究所指出，这种本质差异决定了二者在建模应用中的不同场景：前者适用于固定增量系统，后者更适合描述比例增长现象。

网络扩展解释

几何级数（又称等比级数）是数学中一种特殊的数列求和形式，其特点是每一项与前一项的比值保持恒定。以下是详细解释：

1. 定义与公式几何级数的一般形式为： $$ a + ar + ar + ar + cdots + ar^{n-1} + cdots $$ 其中：

( a ) 为首项
( r ) 为公比（相邻项的比值）

2. 求和公式

有限项和（前( n )项）： $$ S_n = a cdot frac{1 - r^n}{1 - r} quad (r eq 1) $$
无限项和（当级数收敛时）： $$ S = frac{a}{1 - r} quad (|r| < 1) $$

3. 收敛性几何级数收敛的充要条件是公比绝对值小于1（( |r| < 1 )）。若( |r| geq 1 )，级数发散。

4. 经典例子

收敛案例：( 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + cdots = 2 )
发散案例：( 1 + 2 + 4 + 8 + cdots )（公比( r=2 )）

5. 应用领域

金融：复利计算、年金现值
计算机科学：算法时间复杂度分析（如递归分治）
物理：衰减过程建模（如放射性衰变）

对比算术级数与算术级数（等差级数）不同，几何级数的增长/衰减呈指数特性，因此长期趋势更剧烈。例如：

算术级数：( 1, 3, 5, 7, ldots )（线性增长）
几何级数：( 1, 2, 4, 8, ldots )（指数增长）