幾何級數英文解釋翻譯、幾何級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 geometric progression
【經】 geometric progression

分詞翻譯：

幾何的英語翻譯：

geometry; how many; how much

級數的英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

專業解析

幾何級數（Geometric Series）是數學分析中描述等比數列無限項之核心概念，其定義與性質在中英文語境中高度統一。根據《新漢英數學詞彙手冊》的定義，幾何級數指“每一項與前一項的比值為常數的無限級數”，對應的英文術語為"geometric series"。

從數學表達式來看，标準幾何級數可表示為： $$ sum_{n=0}^{infty} ar^n = a + ar + ar + cdots $$ 其中$a$為首項，$r$為公比（common ratio）。美國數學學會（AMS）特别強調，當$|r| < 1$時級數收斂于$frac{a}{1-r}$，而$|r| geq 1$時發散。

該級數在現實應用中有多重體現：

金融領域計算複利終值時，本金增長模型本質是幾何級數求和
計算機科學中，遞歸算法的時間複雜度分析常涉及幾何級數展開
工程領域用其描述信號衰減過程，如MIT開放式課程中電路分析的案例

與算術級數的線性增長不同，幾何級數呈現指數級變化特征。牛津大學數學研究所指出，這種本質差異決定了二者在建模應用中的不同場景：前者適用于固定增量系統，後者更適合描述比例增長現象。

網絡擴展解釋

幾何級數（又稱等比級數）是數學中一種特殊的數列求和形式，其特點是每一項與前一項的比值保持恒定。以下是詳細解釋：

1. 定義與公式幾何級數的一般形式為： $$ a + ar + ar + ar + cdots + ar^{n-1} + cdots $$ 其中：

( a ) 為首項
( r ) 為公比（相鄰項的比值）

2. 求和公式

有限項和（前( n )項）： $$ S_n = a cdot frac{1 - r^n}{1 - r} quad (r eq 1) $$
無限項和（當級數收斂時）： $$ S = frac{a}{1 - r} quad (|r| < 1) $$

3. 收斂性幾何級數收斂的充要條件是公比絕對值小于1（( |r| < 1 )）。若( |r| geq 1 )，級數發散。

4. 經典例子

收斂案例：( 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + cdots = 2 )
發散案例：( 1 + 2 + 4 + 8 + cdots )（公比( r=2 )）

5. 應用領域

金融：複利計算、年金現值
計算機科學：算法時間複雜度分析（如遞歸分治）
物理：衰減過程建模（如放射性衰變）

對比算術級數與算術級數（等差級數）不同，幾何級數的增長/衰減呈指數特性，因此長期趨勢更劇烈。例如：

算術級數：( 1, 3, 5, 7, ldots )（線性增長）
幾何級數：( 1, 2, 4, 8, ldots )（指數增長）