保序性英文解釋翻譯、保序性的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 isotonicity

分詞翻譯：

保的英語翻譯：

defend; keep; protect

序的英語翻譯：

foreword; initial; order; preface; prolegomenon; sequence

專業解析

在數學和計算機科學中，保序性（英文：Order-Preserving 或Monotonicity）指一個函數或映射在定義域内保持元素間原有順序關系的性質。具體表現為：若輸入值增大，輸出值保持同向（非遞減）或反向（非遞增）變化。以下是核心解析：

一、嚴格定義

設函數 ( f: A to B )（( A, B ) 為有序集），若對任意 ( x, y in A )：

保序（單調遞增）：
( x leq y implies f(x) leq f(y) )

嚴格保序（嚴格單調遞增）：
( x < y implies f(x) < f(y) )

反序（單調遞減）：
( x leq y implies f(x) geq f(y) )

二、漢英術語對照

中文術語	英文術語	說明
保序性	Order-Preserving	廣義保持順序關系
單調性	Monotonicity	特指函數增減方向的一緻性
單調遞增	Monotonically Increasing	非嚴格遞增（允許等值）
嚴格單調遞增	Strictly Increasing	無等值（嚴格上升）
單調遞減	Monotonically Decreasing	非嚴格遞減

三、應用場景

算法設計
排序算法（如堆排序）需滿足保序性以确保結果正确性。

優化理論
目标函數的單調性影響梯度下降法的收斂性。

數據庫系統
索引結構（如B+樹）依賴鍵值的保序存儲實現高效查詢。

四、權威參考來源

《數學分析》（Rudin, W.）
定義單調函數與極限關系（Chapter 4）→ 參考鍊接

IEEE 算法标準
保序性在分布式系統一緻性協議中的應用（IEEE 754）→ 參考鍊接

斯坦福大學邏輯學講義
序理論中的保序映射公理化描述→ 參考鍊接

五、反例說明

函數 ( f(x) = x )（定義域 (mathbb{R})）不具保序性，因 ( -2 < 1 ) 但 ( f(-2) = 4 > f(1) = 1 )，違反順序一緻性。

網絡擴展解釋

保序性是數學中描述某種運算或映射保持元素間順序關系的性質，常見于極限、函數單調性、積分等領域。以下是其核心解釋：

1.基本定義

保序性指若兩個元素在運算或映射前後保持原有的大小順序，則稱該過程具有保序性。例如：

若 ( a leq b )，經函數 ( f ) 處理後仍滿足 ( f(a) leq f(b) )，則稱 ( f ) 是保序函數（如單調遞增函數）。

2.數列極限中的保序性

在數學分析中，數列極限的保序性定理指出：

若存在 ( N in mathbb{N} )，當 ( n > N ) 時 ( a_n leq bn )，且兩數列均收斂，則
$$lim{n to infty} an leq lim{n to infty} b_n.$$

應用示例：
若 ( a_n = frac{1}{n} )，( b_n = frac{2}{n} )，顯然對所有 ( n geq 1 )，( a_n leq b_n )。兩者的極限均為 0，滿足 ( 0 leq 0 )。

3.函數單調性與導數

函數的單調性是其保序性的直接體現：

單調遞增：若 ( a < b Rightarrow f(a) leq f(b) )，此時 ( f'(x) geq 0 )（導數非負）。
單調遞減：若 ( a < b Rightarrow f(a) geq f(b) )，此時 ( f'(x) leq 0 )。

示例：
函數 ( f(x) = x ) 在 ( x geq 0 ) 時導數為 ( 2x geq 0 )，故在此區間保序（遞增）。

4.積分中的保序性

若在區間 ([a, b]) 上 ( f(x) leq g(x) )，且兩者均可積，則：
$$int_a^b f(x) , dx leq int_a^b g(x) , dx.$$

意義：積分運算保持了函數間的局部大小關系。

5.嚴格保序與非嚴格保序

嚴格保序：若 ( a < b Rightarrow f(a) < f(b) )（如 ( f(x) = e^x )）。
非嚴格保序：允許等號成立（如 ( f(x) = lfloor x rfloor ) 在整數點處保持值不變）。

保序性通過保持順序關系，為證明不等式、分析函數性質（如單調性）以及處理極限和積分提供了重要工具。其核心在于“順序不變”，但需注意前提條件（如極限存在、函數可導/可積等）。