複分析英文解釋翻譯、複分析的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 double decomposition

分詞翻譯：

複的英語翻譯：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; re-

分析的英語翻譯：

analyze; construe; analysis; assay
【計】 parser
【化】 analysis; assaying
【醫】 analysis; anslyze
【經】 analyse

專業解析

複分析（Complex Analysis），又稱複變函數論，是數學中分析學的一個分支，專門研究複變函數（自變量和函數值均為複數的函數）的性質。其英文對應術語為Complex Analysis 或Theory of Functions of a Complex Variable。

核心研究對象與内容：

複變函數 (Functions of a Complex Variable)：
- 定義在複數域（ℂ）上的函數。一個典型的複變函數可表示為 ( w = f(z) )，其中 ( z = x + iy ) (( x, y in mathbb{R} ), ( i = -1 )) 是複自變量，( w = u + iv ) 是複函數值。
- 研究這些函數的連續性 (Continuity)、可微性 (Differentiability)（即全純性/解析性 (Holomorphicity/Analyticity)）、積分 (Integration) 等基本性質。
核心工具與概念：
- 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)：複變函數在一點可微（即解析）的必要且充分條件。若 ( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ) 在區域 D 内解析，則在該區域内滿足： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$
- 柯西積分定理 (Cauchy's Integral Theorem)：若函數 ( f(z) ) 在單連通區域 D 内解析，則沿 D 内任意閉合路徑 C 的積分為零： $$ oint_C f(z) , dz = 0 $$
- 柯西積分公式 (Cauchy's Integral Formula)：若函數 ( f(z) ) 在閉合路徑 C 及其内部解析，則對 C 内部的任意點 ( z_0 )，有： $$ f(z_0) = frac{1}{2pi i} oint_C frac{f(z)}{z - z_0} , dz $$
- 洛朗級數 (Laurent Series)：在環形區域内解析函數的級數展開，包含正幂和負幂項。
- 留數定理 (Residue Theorem)：計算閉合路徑積分的有力工具，積分值等于路徑内所有孤立奇點的留數之和乘以 ( 2pi i )： $$ oint_C f(z) , dz = 2pi i sum text{Res}(f, z_k) $$
- 共形映射 (Conformal Mapping)：解析函數實現的、局部保持角度和形狀的映射，在流體力學、電磁學、彈性力學等領域有重要應用。
應用領域：
- 複分析的理論和方法廣泛應用于理論物理（量子力學、電磁學、流體力學）、工程學（信號處理、控制理論）、其他數學分支（數論、微分方程、拓撲學）以及應用數學的諸多領域。

權威參考來源：

Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Complex Analysis. Princeton University Press. (經典研究生教材，内容深入嚴謹) Princeton University Press
Ahlfors, L. V. (1979). Complex Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. (公認的經典标準教材，影響深遠) McGraw-Hill
Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2014). Complex Variables and Applications (9th ed.). McGraw-Hill. (廣泛使用的本科生教材，注重應用與計算) McGraw-Hill
Wikipedia: Complex Analysis (提供基礎定義、核心概念和定理的概述) https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis (需注意維基百科的開放性，但其基礎内容通常準确且引用可靠)
Wolfram MathWorld: Complex Analysis (提供數學概念的清晰定義和解釋) http://mathworld.wolfram.com/ComplexAnalysis.html

網絡擴展解釋

複分析（Complex Analysis）是數學中研究複數域上函數的分析學分支，主要關注解析函數（全純函數）的性質及其應用。以下是其核心内容的詳細解釋：

1.基本概念

複數域：複分析的研究對象是形如 ( z = x + iy )（( x, y in mathbb{R} )，( i = -1 )）的複數，其幾何表示為複平面上的點。
解析函數：若複函數 ( f(z) ) 在某個區域内處處可導，則稱為解析函數（或全純函數）。解析性要求函數滿足柯西-黎曼方程： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$ 其中 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )。

2.核心定理

柯西積分定理：若解析函數 ( f(z) ) 在單連通區域 ( D ) 内解析，則沿任意閉合路徑的積分為零，即： $$ oint_gamma f(z) , dz = 0 $$
柯西積分公式：解析函數在區域内的值可通過邊界積分表示： $$ f(a) = frac{1}{2pi i} oint_gamma frac{f(z)}{z-a} , dz $$

3.幾何理論

共形映射：解析函數在導數非零處保持角度不變，稱為共形映射。例如，黎曼映射定理指出，任何單連通區域（非全平面）均可共形映射到單位圓盤。
奇點與留數：解析函數的奇點（如極點、本性奇點）分類及留數定理是計算複雜積分的關鍵工具： $$ oint_gamma f(z) , dz = 2pi i sum text{Res}(f, z_k) $$

4.應用領域

物理學：用于流體力學（勢流理論）、電磁學（複電勢）和量子力學（路徑積分）。
工程學：信號處理中的傅裡葉變換、控制理論的頻域分析均依賴複分析。
數論：黎曼ζ函數與素數分布的關聯是複分析在數論中的經典應用。

5.重要性

複分析揭示了實數域中難以觀察的對稱性與簡潔性（如全純函數的幂級數展開），并成為連接幾何、拓撲與物理的橋梁。其理論深度與應用廣度使其成為現代數學的核心工具之一。