复分析英文解释翻译、复分析的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 double decomposition

分词翻译：

复的英语翻译：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【医】 amb-; ambi-; ambo-; re-

分析的英语翻译：

analyze; construe; analysis; assay
【计】 parser
【化】 analysis; assaying
【医】 analysis; anslyze
【经】 analyse

专业解析

复分析（Complex Analysis），又称复变函数论，是数学中分析学的一个分支，专门研究复变函数（自变量和函数值均为复数的函数）的性质。其英文对应术语为Complex Analysis 或Theory of Functions of a Complex Variable。

核心研究对象与内容：

复变函数 (Functions of a Complex Variable)：
- 定义在复数域（ℂ）上的函数。一个典型的复变函数可表示为 ( w = f(z) )，其中 ( z = x + iy ) (( x, y in mathbb{R} ), ( i = -1 )) 是复自变量，( w = u + iv ) 是复函数值。
- 研究这些函数的连续性 (Continuity)、可微性 (Differentiability)（即全纯性/解析性 (Holomorphicity/Analyticity)）、积分 (Integration) 等基本性质。
核心工具与概念：
- 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)：复变函数在一点可微（即解析）的必要且充分条件。若 ( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ) 在区域 D 内解析，则在该区域内满足： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$
- 柯西积分定理 (Cauchy's Integral Theorem)：若函数 ( f(z) ) 在单连通区域 D 内解析，则沿 D 内任意闭合路径 C 的积分为零： $$ oint_C f(z) , dz = 0 $$
- 柯西积分公式 (Cauchy's Integral Formula)：若函数 ( f(z) ) 在闭合路径 C 及其内部解析，则对 C 内部的任意点 ( z_0 )，有： $$ f(z_0) = frac{1}{2pi i} oint_C frac{f(z)}{z - z_0} , dz $$
- 洛朗级数 (Laurent Series)：在环形区域内解析函数的级数展开，包含正幂和负幂项。
- 留数定理 (Residue Theorem)：计算闭合路径积分的有力工具，积分值等于路径内所有孤立奇点的留数之和乘以 ( 2pi i )： $$ oint_C f(z) , dz = 2pi i sum text{Res}(f, z_k) $$
- 共形映射 (Conformal Mapping)：解析函数实现的、局部保持角度和形状的映射，在流体力学、电磁学、弹性力学等领域有重要应用。
应用领域：
- 复分析的理论和方法广泛应用于理论物理（量子力学、电磁学、流体力学）、工程学（信号处理、控制理论）、其他数学分支（数论、微分方程、拓扑学）以及应用数学的诸多领域。

权威参考来源：

Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Complex Analysis. Princeton University Press. (经典研究生教材，内容深入严谨) Princeton University Press
Ahlfors, L. V. (1979). Complex Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. (公认的经典标准教材，影响深远) McGraw-Hill
Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2014). Complex Variables and Applications (9th ed.). McGraw-Hill. (广泛使用的本科生教材，注重应用与计算) McGraw-Hill
Wikipedia: Complex Analysis (提供基础定义、核心概念和定理的概述) https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis (需注意维基百科的开放性，但其基础内容通常准确且引用可靠)
Wolfram MathWorld: Complex Analysis (提供数学概念的清晰定义和解释) http://mathworld.wolfram.com/ComplexAnalysis.html

网络扩展解释

复分析（Complex Analysis）是数学中研究复数域上函数的分析学分支，主要关注解析函数（全纯函数）的性质及其应用。以下是其核心内容的详细解释：

1.基本概念

复数域：复分析的研究对象是形如 ( z = x + iy )（( x, y in mathbb{R} )，( i = -1 )）的复数，其几何表示为复平面上的点。
解析函数：若复函数 ( f(z) ) 在某个区域内处处可导，则称为解析函数（或全纯函数）。解析性要求函数满足柯西-黎曼方程： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$ 其中 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )。

2.核心定理

柯西积分定理：若解析函数 ( f(z) ) 在单连通区域 ( D ) 内解析，则沿任意闭合路径的积分为零，即： $$ oint_gamma f(z) , dz = 0 $$
柯西积分公式：解析函数在区域内的值可通过边界积分表示： $$ f(a) = frac{1}{2pi i} oint_gamma frac{f(z)}{z-a} , dz $$

3.几何理论

共形映射：解析函数在导数非零处保持角度不变，称为共形映射。例如，黎曼映射定理指出，任何单连通区域（非全平面）均可共形映射到单位圆盘。
奇点与留数：解析函数的奇点（如极点、本性奇点）分类及留数定理是计算复杂积分的关键工具： $$ oint_gamma f(z) , dz = 2pi i sum text{Res}(f, z_k) $$

4.应用领域

物理学：用于流体力学（势流理论）、电磁学（复电势）和量子力学（路径积分）。
工程学：信号处理中的傅里叶变换、控制理论的频域分析均依赖复分析。
数论：黎曼ζ函数与素数分布的关联是复分析在数论中的经典应用。

5.重要性

复分析揭示了实数域中难以观察的对称性与简洁性（如全纯函数的幂级数展开），并成为连接几何、拓扑与物理的桥梁。其理论深度与应用广度使其成为现代数学的核心工具之一。