單一同态英文解釋翻譯、單一同态的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 monomorphism

分詞翻譯：

單的英語翻譯：

odd; single
【醫】 azygos; mon-; mono-; uni-

一同的英語翻譯：

together
【醫】 co-

态的英語翻譯：

condition; form; state; voice
【化】 state

專業解析

在漢英詞典視角下，“單一同态”是一個數學術語，尤其常見于抽象代數（如群論、環論、模論）和範疇論中。其核心含義如下：

術語構成與字面意思：
- 單一 (Mono- / Single)：源自希臘語前綴 "mono-"，意為“單一”、“唯一”。在數學映射中常指“單射”(injective)，即映射是“一對一”的。
- 同态 (Homomorphism)：指在兩個同類型代數結構（如兩個群、兩個環、兩個向量空間）之間保持結構運算的映射。例如，群同态 $f: G to H$ 滿足 $f(a cdot b) = f(a) cdot f(b)$。
- 字面組合： “單一同态”字面可理解為“具有單一性或單射性的結構保持映射”。
數學定義與核心特征：單一同态 (Monomorphism) 是指一個單射 (injective) 的同态 (homomorphism)。具體來說：
- 設 $f: A to B$ 是兩個代數結構（如群、環、模）之間的同态。
- 如果 $f$ 是單射，即對于 $A$ 中任意元素 $x_1, x_2$，有 $f(x_1) = f(x_2)$ 蘊含 $x_1 = x_2$，那麼這個同态 $f$ 就稱為單一同态。
- 關鍵性質：單一同态保證了原結構 $A$ 可以嵌入 (embedded) 到目标結構 $B$ 中，且 $A$ 的結構在 $B$ 中的像 $f(A)$ 與 $A$同構 (isomorphic)。這意味着 $A$ 在 $B$ 中有一個精确的、無冗餘的副本。
範疇論中的推廣：在更一般的範疇論框架下，單一态射 (Monomorphism) 的定義是：
- 設 $f: X to Y$ 是範疇中的态射。
- 如果 $f$ 是左可消的 (left-cancellative)，即對于任意對象 $Z$ 和任意一對平行态射 $g_1, g_2: Z to X$，若有 $f circ g_1 = f circ g_2$，則必有 $g_1 = g_2$。
- 在具體代數範疇（如群範疇、環範疇）中，這個抽象的單一态射定義等價于單射同态。
應用與重要性：
- 分類與嵌入：單一同态是研究代數結構分類和子結構關系的重要工具。它表明一個結構如何“幹淨地”作為另一個結構的子結構存在。
- 正合序列：在同調代數中，單一同态是鍊複形正合序列的基本組成部分（如 $0 to A xrightarrow{f} B$ 正合當且僅當 $f$ 是單一同态）。
- 泛性質：單一同态常與對象的泛性質（如自由對象、投射對象）相關。
反例與對比：
- 一個同态如果不是單射，則不是單一同态。例如，考慮群同态 $f: mathbb{Z} to mathbb{Z}/2mathbb{Z}$ (整數模2加法群)，定義為 $f(n) = n mod 2$。$f(0) = f(2) = 0$ 但 $0 eq 2$，故 $f$ 不是單射，因此不是單一同态。
- 與滿同态 (epimorphism / surjective homomorphism) 對比：滿同态強調映射的“覆蓋性”（像集等于整個目标結構），而單一同态強調映射的“嵌入性”（無重疊地進入目标結構）。

參考來源：

《數學百科全書》(Encyclopedia of Mathematics) - 由歐洲數學學會維護的權威線上數學參考資源，提供了單一态射（同态）的嚴格定義和在各個數學分支中的應用。 (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Monomorphism)
普林斯頓大學數學系課程講義 - 其抽象代數課程材料（如群論、環論部分）清晰定義了單射同态（即單一同态）并給出實例。 (https://web.math.princeton.edu/~nelson/681/681.html - 需查閱具體章節)
斯坦福大學範疇論課程筆記 - 詳細闡述了範疇論中單一态射的定義、性質及其與具體代數範疇中單射同态的聯繫。 (https://math.stanford.edu/~vakil/216blog/ - 需查閱範疇論相關筆記)

網絡擴展解釋

在離散數學中，單一同态（也稱為單同态）是同态映射的一種特殊類型，其定義和特點如下：

1.基本定義

單一同态是單射的同态映射，即滿足：

同态條件：對于兩個代數系統( G_1 = langle S_1, rangle )和( G_2 = langle S_2, cdot rangle )，映射( f: S_1 to S_2 )需滿足( f(x y) = f(x) cdot f(y) )，對所有( x, y in S_1 )成立。
單射性：若( f )是單射（不同元素映射到不同元素），則稱( f )為單一同态。

2.特點與作用

結構保持性：單一同态能保持原代數系統的運算結構，同時通過單射性避免信息冗餘。
同态象與原系統的關系：單一同态下的像（同态象）與原系統同構，即兩者結構完全一緻。

3.相關概念對比

自同态：若映射發生在同一代數系統上（即( G_1 = G_2 )），則稱為自同态；若同時是單射，則為單自同态。
滿同态：若映射是滿射的，則稱為滿同态，此時同态象覆蓋整個目标系統。
同構：雙射的同态映射，既是單一同态又是滿同态。

4.示例

設( G_1 = (mathbb{Z}, +) )，( G_2 = (mathbb{R}, +) )，定義映射( f(n) = 2n )。驗證：

同态性：( f(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = f(m) + f(n) )。
單射性：若( f(m) = f(n) )，則( 2m = 2n )，得( m = n )。因此( f )是單一同态。

單一同态通過單射性保留了原系統的結構細節，是研究代數系統分類和性質的重要工具。需注意與自同态、滿同态等概念區分。