单一同态英文解释翻译、单一同态的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 monomorphism

分词翻译：

单的英语翻译：

odd; single
【医】 azygos; mon-; mono-; uni-

一同的英语翻译：

together
【医】 co-

态的英语翻译：

condition; form; state; voice
【化】 state

专业解析

在汉英词典视角下，“单一同态”是一个数学术语，尤其常见于抽象代数（如群论、环论、模论）和范畴论中。其核心含义如下：

术语构成与字面意思：
- 单一 (Mono- / Single)：源自希腊语前缀 "mono-"，意为“单一”、“唯一”。在数学映射中常指“单射”(injective)，即映射是“一对一”的。
- 同态 (Homomorphism)：指在两个同类型代数结构（如两个群、两个环、两个向量空间）之间保持结构运算的映射。例如，群同态 $f: G to H$ 满足 $f(a cdot b) = f(a) cdot f(b)$。
- 字面组合： “单一同态”字面可理解为“具有单一性或单射性的结构保持映射”。
数学定义与核心特征：单一同态 (Monomorphism) 是指一个单射 (injective) 的同态 (homomorphism)。具体来说：
- 设 $f: A to B$ 是两个代数结构（如群、环、模）之间的同态。
- 如果 $f$ 是单射，即对于 $A$ 中任意元素 $x_1, x_2$，有 $f(x_1) = f(x_2)$ 蕴含 $x_1 = x_2$，那么这个同态 $f$ 就称为单一同态。
- 关键性质：单一同态保证了原结构 $A$ 可以嵌入 (embedded) 到目标结构 $B$ 中，且 $A$ 的结构在 $B$ 中的像 $f(A)$ 与 $A$同构 (isomorphic)。这意味着 $A$ 在 $B$ 中有一个精确的、无冗余的副本。
范畴论中的推广：在更一般的范畴论框架下，单一态射 (Monomorphism) 的定义是：
- 设 $f: X to Y$ 是范畴中的态射。
- 如果 $f$ 是左可消的 (left-cancellative)，即对于任意对象 $Z$ 和任意一对平行态射 $g_1, g_2: Z to X$，若有 $f circ g_1 = f circ g_2$，则必有 $g_1 = g_2$。
- 在具体代数范畴（如群范畴、环范畴）中，这个抽象的单一态射定义等价于单射同态。
应用与重要性：
- 分类与嵌入：单一同态是研究代数结构分类和子结构关系的重要工具。它表明一个结构如何“干净地”作为另一个结构的子结构存在。
- 正合序列：在同调代数中，单一同态是链复形正合序列的基本组成部分（如 $0 to A xrightarrow{f} B$ 正合当且仅当 $f$ 是单一同态）。
- 泛性质：单一同态常与对象的泛性质（如自由对象、投射对象）相关。
反例与对比：
- 一个同态如果不是单射，则不是单一同态。例如，考虑群同态 $f: mathbb{Z} to mathbb{Z}/2mathbb{Z}$ (整数模2加法群)，定义为 $f(n) = n mod 2$。$f(0) = f(2) = 0$ 但 $0 eq 2$，故 $f$ 不是单射，因此不是单一同态。
- 与满同态 (epimorphism / surjective homomorphism) 对比：满同态强调映射的“覆盖性”（像集等于整个目标结构），而单一同态强调映射的“嵌入性”（无重叠地进入目标结构）。

参考来源：

《数学百科全书》(Encyclopedia of Mathematics) - 由欧洲数学学会维护的权威在线数学参考资源，提供了单一态射（同态）的严格定义和在各个数学分支中的应用。 (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Monomorphism)
普林斯顿大学数学系课程讲义 - 其抽象代数课程材料（如群论、环论部分）清晰定义了单射同态（即单一同态）并给出实例。 (https://web.math.princeton.edu/~nelson/681/681.html - 需查阅具体章节)
斯坦福大学范畴论课程笔记 - 详细阐述了范畴论中单一态射的定义、性质及其与具体代数范畴中单射同态的联系。 (https://math.stanford.edu/~vakil/216blog/ - 需查阅范畴论相关笔记)

网络扩展解释

在离散数学中，单一同态（也称为单同态）是同态映射的一种特殊类型，其定义和特点如下：

1.基本定义

单一同态是单射的同态映射，即满足：

同态条件：对于两个代数系统( G_1 = langle S_1, rangle )和( G_2 = langle S_2, cdot rangle )，映射( f: S_1 to S_2 )需满足( f(x y) = f(x) cdot f(y) )，对所有( x, y in S_1 )成立。
单射性：若( f )是单射（不同元素映射到不同元素），则称( f )为单一同态。

2.特点与作用

结构保持性：单一同态能保持原代数系统的运算结构，同时通过单射性避免信息冗余。
同态象与原系统的关系：单一同态下的像（同态象）与原系统同构，即两者结构完全一致。

3.相关概念对比

自同态：若映射发生在同一代数系统上（即( G_1 = G_2 )），则称为自同态；若同时是单射，则为单自同态。
满同态：若映射是满射的，则称为满同态，此时同态象覆盖整个目标系统。
同构：双射的同态映射，既是单一同态又是满同态。

4.示例

设( G_1 = (mathbb{Z}, +) )，( G_2 = (mathbb{R}, +) )，定义映射( f(n) = 2n )。验证：

同态性：( f(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = f(m) + f(n) )。
单射性：若( f(m) = f(n) )，则( 2m = 2n )，得( m = n )。因此( f )是单一同态。

单一同态通过单射性保留了原系统的结构细节，是研究代数系统分类和性质的重要工具。需注意与自同态、满同态等概念区分。