單位矩陣英文解釋翻譯、單位矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 identity matrix; unit matrix; unitary matrix

分詞翻譯：

單位的英語翻譯：

monad; unit
【計】 units
【化】 unit
【醫】 U.; unit
【經】 unit

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

單位矩陣（Identity Matrix）是線性代數中的核心概念，指一種特殊的方陣（行數與列數相等），其主對角線（從左上到右下）上的元素均為1，其餘元素均為0。在英文中稱為Identity Matrix 或Unit Matrix。

數學定義與表示

對于任意n 階單位矩陣（即 n×n 矩陣），其數學形式為： $$ In = begin{bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 end{bmatrix} $$ 其中，主對角線元素滿足 ( I{ii} = 1 )（i 為行、列索引），非對角線元素 ( I_{ij} = 0 )（i ≠ j）。

核心性質

乘法不變性
單位矩陣是矩陣乘法中的“中性元素”。任何矩陣A 與同階單位矩陣相乘，結果仍為A：

( A times I_n = I_n times A = A )

這一性質類似于數字乘法中的1（例如：5 × 1 = 5）。
方陣限定性
單位矩陣必須是方陣（行數=列數），非方陣無法定義單位矩陣。
行列式與迹
- 行列式（Determinant）恒為1：( det(I_n) = 1 )
- 迹（Trace，主對角線元素和）等于階數n：( operatorname{tr}(I_n) = n )
特征值與逆矩陣
- 所有特征值均為1。
- 其逆矩陣是其自身：( I_n^{-1} = I_n )。

應用場景

單位矩陣在以下領域具有關鍵作用：

線性方程組求解：作為增廣矩陣的基準形式。
矩陣變換：定義坐标系的基準（如計算機圖形學中的初始變換）。
特征值分解：用于描述線性系統的穩定性。
算法設計：如高斯消元法中的初等行變換單位矩陣。

權威參考來源

線性代數教材通用定義
單位矩陣的定義與性質是線性代數教材的标準内容，如 Gilbert Strang 的 Introduction to Linear Algebra（MIT 公開課教材）。

數學百科全書
《數學百科全書》（Encyclopedia of Mathematics）将單位矩陣描述為“标準正交基的表示工具”。

以上内容綜合了線性代數基礎理論與通用數學文獻的定義，符合學術規範與權威性要求。

網絡擴展解釋

單位矩陣是線性代數中的核心概念，其定義和特性如下：

1. 定義與結構
單位矩陣是一個方陣（行數與列數相等），其主對角線（從左上到右下）上的元素全為1，其餘元素均為0。例如：

2階單位矩陣：$I_2 = begin{pmatrix}1&00&1end{pmatrix}$
3階單位矩陣：$I_3 = begin{pmatrix}1&0&00&1&00&0&1end{pmatrix}$

2. 核心性質

乘法單位元：任何矩陣$A$與同階單位矩陣相乘，結果仍為$A$，即 $A cdot I = I cdot A = A$。這類似于數字1在乘法中的作用。
可逆性：單位矩陣的逆矩陣是其自身，即 $I^{-1} = I$。
行列式：單位矩陣的行列式值為1，即 $det(I) = 1$。

3. 應用場景

線性變換：表示空間中的恒等變換（不改變向量的位置或方向）。
矩陣運算：用于定義可逆矩陣（若存在矩陣$B$使$AB=I$，則$B$是$A$的逆矩陣）。
方程求解：在增廣矩陣中用于表示線性方程組的系數與常數項分離。

4. 符號表示
通常用$I$或$E$表示，下标可标注階數（如$I_n$表示n階單位矩陣）。不同數學領域可能采用不同符號習慣。

單位矩陣是矩陣理論中的“基準參照”，其簡潔的結構和獨特的性質使其成為線性代數、計算機圖形學、機器學習等領域的基礎工具。