二次對偶問題英文解釋翻譯、二次對偶問題的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadratic dual problem

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

對偶的英語翻譯：

【計】 antithetic
【醫】 allelo-

問題的英語翻譯：

issue; problem; question; trouble
【計】 sieve problem
【經】 subject

專業解析

二次對偶問題（Second Dual Problem）是數學優化領域中基于對偶理論延伸出的核心概念，指在原始優化問題和對偶問題基礎上再次構建的高階對偶形式。在凸優化框架下，二次對偶問題常與原始問題保持等價關系，這種特性被稱為強對偶性（Strong Duality）。其數學表達式可表示為：

$$ begin{aligned} text{原始問題} & :min_{x} f(x) quad text{s.t.}g_i(x) leq 0, hj(x) = 0 text{對偶問題} & :max{lambda, u} inf{x} mathcal{L}(x,lambda, u) quad text{s.t.}lambda geq 0 text{二次對偶問題} & :min{x} sup_{lambda, u} mathcal{L}(x,lambda, u) quad text{s.t.}g_i(x) leq 0, h_j(x) = 0 end{aligned} $$

其中$mathcal{L}(x,lambda, u)=f(x)+sum lambda_i g_i(x)+sum u_j h_j(x)$為拉格朗日函數。該理論在支持向量機（SVM）的核方法設計與二次規劃（Quadratic Programming）求解中具有關鍵作用。

權威文獻如Boyd與Vandenberghe的《Convex Optimization》（參考鍊接：Stanford University）指出，當原始問題滿足Slater條件時，二次對偶問題的最優解與原始問題一緻。這一性質被廣泛應用于經濟學均衡分析及通信系統的資源分配算法設計。

網絡擴展解釋

關于“二次對偶問題”的解釋需要結合數學優化理論，尤其是對偶性原理。根據搜索結果中的權威信息（），以下是詳細解釋：

1.基本概念

在優化問題中，“二次對偶問題”是指對原問題的對偶問題再次求對偶後得到的新問題。例如：

原問題（Primal）：給定一個優化問題（如線性規劃或凸優化問題）。
第一次對偶問題（Dual）：通過拉格朗日對偶性轉換原問題得到的優化問題。
二次對偶問題：将第一次對偶問題視為新的“原問題”，再次進行對偶轉換。

2.核心性質

在特定條件下（如原問題是凸優化問題），二次對偶問題與原問題具有等價性：

強對偶性：若原問題是凸優化且滿足Slater條件，原問題和對偶問題的最優值相等（即$min text{Primal} = max text{Dual}$）。此時，二次對偶問題的最優值等于原問題的最優值。
閉合性：對于線性規劃問題，二次對偶問題等價于原問題本身。

3.數學表示示例

以線性規劃為例：

原問題： $$min_{x} c^T x$$ $$text{s.t. } Ax geq b, x geq 0$$
第一次對偶問題： $$max_{y} b^T y$$ $$text{s.t. } A^T y leq c, y geq 0$$
二次對偶問題：對上述對偶問題再次求對偶，可恢複原問題的形式。

4.實際意義

二次對偶問題的主要意義在于驗證對偶理論的完備性。通過二次對偶，可以檢驗原問題的對偶轉換是否閉合，尤其在凸優化中，這種閉合性保證了理論的一緻性。

5.注意事項

非凸優化問題可能不滿足強對偶性，此時二次對偶問題與原問題不等價。
互補松弛性（）在二次對偶中仍然適用，用于分析最優解的條件。

如需更完整的數學推導或應用場景，可參考的優化理論相關内容。