伴隨矩陣英文解釋翻譯、伴隨矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 companion matrix

分詞翻譯：

伴隨的英語翻譯：

chaperone; go with

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

在漢英詞典視角下，“伴隨矩陣”對應的英文術語是Adjugate Matrix 或Classical Adjoint Matrix。它是線性代數中與方陣相關的一個重要概念，具有明确的數學定義和性質。

1. 定義 (Definition)

中文 (Chinese): 對于一個 n 階方陣 A，其伴隨矩陣（通常記作 adj(A) 或 A*）是一個同樣為 n 階的方陣。adj(A) 的每個元素 (i, j) 是原矩陣 A 的元素 (j, i) 的代數餘子式 (Cofactor)。更精确地說，adj(A) 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素的代數餘子式。這意味着伴隨矩陣是原矩陣的代數餘子式矩陣的轉置。
英文 (English): For an n×n square matrix A, its adjugate matrix (denoted as adj(A) or A*) is another n×n square matrix. The (i, j)-th entry of adj(A) is the cofactor of the (j, i)-th entry of A. In other words, the adjugate matrix is thetranspose of the cofactor matrix of A.

2. 核心性質 (Key Property) 伴隨矩陣最核心和實用的性質是其與原矩陣及其行列式的關系：

中文 (Chinese): 方陣 A 與其伴隨矩陣 adj(A) 的乘積等于 A 的行列式 (det(A)) 乘以同階單位矩陣 I。即：A × adj(A) = adj(A) × A = det(A) × I
英文 (English): The product of a square matrix A and its adjugate adj(A) yields the determinant of A multiplied by the identity matrix I of the same order. That is:A × adj(A) = adj(A) × A = det(A) × I

3. 主要應用 (Primary Application) 上述核心性質直接導出了伴隨矩陣最重要的應用：

中文 (Chinese): 當方陣 A 可逆（即 det(A) ≠ 0）時，可以利用伴隨矩陣求出 A 的逆矩陣 A⁻¹。公式為：A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)
英文 (English): If the square matrix A is invertible (i.e., det(A) ≠ 0), its inverse matrix A⁻¹ can be computed using the adjugate matrix:A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)
這個公式在理論推導和低階矩陣（尤其是 2×2 和 3×3 矩陣）的逆矩陣計算中非常有用。

4. 與其他概念的區别 (Distinction from Other Concepts)

中文 (Chinese): 需注意“伴隨矩陣”(Adjugate/Classical Adjoint) 與“共轭轉置矩陣”(Conjugate Transpose, 對于實矩陣即轉置矩陣 Transpose) 是不同的概念。在英文中，“adjoint matrix”一詞有時可能指代“共轭轉置矩陣”，這容易造成混淆。現代數學文獻中更傾向于使用“Adjugate Matrix”或“Classical Adjoint”來特指這裡所定義的伴隨矩陣。
英文 (English): It's crucial to distinguish the "Adjugate Matrix" or "Classical Adjoint" from the "Conjugate Transpose" matrix (which, for real matrices, is simply the transpose). The term "adjoint matrix" can sometimes refer to the conjugate transpose in other contexts, leading to potential confusion. Modern mathematical literature often prefers "Adjugate Matrix" or explicitly "Classical Adjoint" to refer to the matrix defined here.

參考資料 (References):

MathWorld (Wolfram Research): Adjugate Matrix Definition & Properties. https://mathworld.wolfram.com/AdjugateMatrix.html
Wikipedia: Adjugate Matrix - Key Formula & Application. https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix
Gilbert Strang, "Introduction to Linear Algebra" (5th Ed.): Standard textbook definition, properties, and distinction from adjoint/transpose. Wellesley-Cambridge Press. (Standard reference for concepts and terminology).

網絡擴展解釋

伴隨矩陣（Adjugate Matrix）是線性代數中的一個重要概念，主要用于方陣的逆矩陣計算和行列式相關運算。以下是詳細解釋：

1. 定義

伴隨矩陣（記作adj(A)）是原矩陣各元素的代數餘子式組成的矩陣的轉置。

代數餘子式：對矩陣中元素 (a{ij})，其代數餘子式為 (C{ij} = (-1)^{i+j}M{ij})，其中 (M{ij}) 是删除第 (i) 行和第 (j) 列後的餘子式。
轉置操作：将所有代數餘子式按原位置排列後，再轉置得到伴隨矩陣。

2. 核心公式

伴隨矩陣與原矩陣滿足關系：
$$ A cdot text{adj}(A) = text{adj}(A) cdot A = det(A) cdot I $$
其中：

(A) 是 (n times n) 方陣，
(det(A)) 是 (A) 的行列式，
(I) 是單位矩陣。

當 (A) 可逆時（即 (det(A) eq 0)），可用伴隨矩陣求逆：
$$ A^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot text{adj}(A) $$

3. 計算步驟（以3×3矩陣為例）

計算每個元素的代數餘子式：
例如，對矩陣 (A = begin{bmatrix} a & b & cd & e & fg & h & i end{bmatrix})，元素 (a) 的餘子式為 (begin{vmatrix} e & fh & i end{vmatrix})，代數餘子式為 ((+1)^{1+1} cdot (ei - fh))。
組成代數餘子式矩陣：
$$ begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13}C{21} & C{22} & C{23}C{31} & C{32} & C_{33} end{bmatrix} $$
轉置該矩陣得到伴隨矩陣。

4. 應用場景

求逆矩陣：當矩陣可逆時，通過伴隨矩陣可直接推導逆矩陣。
解線性方程組：結合克萊姆法則，用于求解方程組的解。
理論推導：在行列式性質證明、矩陣特征值分析中起重要作用。

5. 注意事項

僅適用于方陣：非方陣沒有伴隨矩陣。
計算複雜度：高階矩陣的伴隨矩陣計算量較大（時間複雜度 (O(n!))），實際應用中通常采用更高效的數值方法。

通過伴隨矩陣，可以深入理解矩陣的可逆性與行列式的關系，是線性代數理論體系的重要工具。