伴随矩阵英文解释翻译、伴随矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 companion matrix

分词翻译：

伴随的英语翻译：

chaperone; go with

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

在汉英词典视角下，“伴随矩阵”对应的英文术语是Adjugate Matrix 或Classical Adjoint Matrix。它是线性代数中与方阵相关的一个重要概念，具有明确的数学定义和性质。

1. 定义 (Definition)

中文 (Chinese): 对于一个 n 阶方阵 A，其伴随矩阵（通常记作 adj(A) 或 A*）是一个同样为 n 阶的方阵。adj(A) 的每个元素 (i, j) 是原矩阵 A 的元素 (j, i) 的代数余子式 (Cofactor)。更精确地说，adj(A) 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素的代数余子式。这意味着伴随矩阵是原矩阵的代数余子式矩阵的转置。
英文 (English): For an n×n square matrix A, its adjugate matrix (denoted as adj(A) or A*) is another n×n square matrix. The (i, j)-th entry of adj(A) is the cofactor of the (j, i)-th entry of A. In other words, the adjugate matrix is thetranspose of the cofactor matrix of A.

2. 核心性质 (Key Property) 伴随矩阵最核心和实用的性质是其与原矩阵及其行列式的关系：

中文 (Chinese): 方阵 A 与其伴随矩阵 adj(A) 的乘积等于 A 的行列式 (det(A)) 乘以同阶单位矩阵 I。即：A × adj(A) = adj(A) × A = det(A) × I
英文 (English): The product of a square matrix A and its adjugate adj(A) yields the determinant of A multiplied by the identity matrix I of the same order. That is:A × adj(A) = adj(A) × A = det(A) × I

3. 主要应用 (Primary Application) 上述核心性质直接导出了伴随矩阵最重要的应用：

中文 (Chinese): 当方阵 A 可逆（即 det(A) ≠ 0）时，可以利用伴随矩阵求出 A 的逆矩阵 A⁻¹。公式为：A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)
英文 (English): If the square matrix A is invertible (i.e., det(A) ≠ 0), its inverse matrix A⁻¹ can be computed using the adjugate matrix:A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)
这个公式在理论推导和低阶矩阵（尤其是 2×2 和 3×3 矩阵）的逆矩阵计算中非常有用。

4. 与其他概念的区别 (Distinction from Other Concepts)

中文 (Chinese): 需注意“伴随矩阵”(Adjugate/Classical Adjoint) 与“共轭转置矩阵”(Conjugate Transpose, 对于实矩阵即转置矩阵 Transpose) 是不同的概念。在英文中，“adjoint matrix”一词有时可能指代“共轭转置矩阵”，这容易造成混淆。现代数学文献中更倾向于使用“Adjugate Matrix”或“Classical Adjoint”来特指这里所定义的伴随矩阵。
英文 (English): It's crucial to distinguish the "Adjugate Matrix" or "Classical Adjoint" from the "Conjugate Transpose" matrix (which, for real matrices, is simply the transpose). The term "adjoint matrix" can sometimes refer to the conjugate transpose in other contexts, leading to potential confusion. Modern mathematical literature often prefers "Adjugate Matrix" or explicitly "Classical Adjoint" to refer to the matrix defined here.

参考资料 (References):

MathWorld (Wolfram Research): Adjugate Matrix Definition & Properties. https://mathworld.wolfram.com/AdjugateMatrix.html
Wikipedia: Adjugate Matrix - Key Formula & Application. https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix
Gilbert Strang, "Introduction to Linear Algebra" (5th Ed.): Standard textbook definition, properties, and distinction from adjoint/transpose. Wellesley-Cambridge Press. (Standard reference for concepts and terminology).

网络扩展解释

伴随矩阵（Adjugate Matrix）是线性代数中的一个重要概念，主要用于方阵的逆矩阵计算和行列式相关运算。以下是详细解释：

1. 定义

伴随矩阵（记作adj(A)）是原矩阵各元素的代数余子式组成的矩阵的转置。

代数余子式：对矩阵中元素 (a{ij})，其代数余子式为 (C{ij} = (-1)^{i+j}M{ij})，其中 (M{ij}) 是删除第 (i) 行和第 (j) 列后的余子式。
转置操作：将所有代数余子式按原位置排列后，再转置得到伴随矩阵。

2. 核心公式

伴随矩阵与原矩阵满足关系：
$$ A cdot text{adj}(A) = text{adj}(A) cdot A = det(A) cdot I $$
其中：

(A) 是 (n times n) 方阵，
(det(A)) 是 (A) 的行列式，
(I) 是单位矩阵。

当 (A) 可逆时（即 (det(A) eq 0)），可用伴随矩阵求逆：
$$ A^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot text{adj}(A) $$

3. 计算步骤（以3×3矩阵为例）

计算每个元素的代数余子式：
例如，对矩阵 (A = begin{bmatrix} a & b & cd & e & fg & h & i end{bmatrix})，元素 (a) 的余子式为 (begin{vmatrix} e & fh & i end{vmatrix})，代数余子式为 ((+1)^{1+1} cdot (ei - fh))。
组成代数余子式矩阵：
$$ begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13}C{21} & C{22} & C{23}C{31} & C{32} & C_{33} end{bmatrix} $$
转置该矩阵得到伴随矩阵。

4. 应用场景

求逆矩阵：当矩阵可逆时，通过伴随矩阵可直接推导逆矩阵。
解线性方程组：结合克莱姆法则，用于求解方程组的解。
理论推导：在行列式性质证明、矩阵特征值分析中起重要作用。

5. 注意事项

仅适用于方阵：非方阵没有伴随矩阵。
计算复杂度：高阶矩阵的伴随矩阵计算量较大（时间复杂度 (O(n!))），实际应用中通常采用更高效的数值方法。

通过伴随矩阵，可以深入理解矩阵的可逆性与行列式的关系，是线性代数理论体系的重要工具。