英語翻譯：

【計】 Euler digraph; Eulerian digraph

分詞翻譯：

歐拉的英語翻譯：

【計】 EULER

有向圖的英語翻譯：

【計】 digraph; directed graph; oriented graph
【化】 digraph

專業解析

歐拉有向圖（Eulerian Digraph）是圖論中描述具有特殊路徑結構的定向網絡模型。其核心定義可拆解為兩部分：

1. 歐拉路徑：若一個有向圖中存在一條經過所有邊恰好一次的路徑，且路徑方向與邊方向一緻，則該路徑稱為有向歐拉路徑。
2. 歐拉回路：當上述路徑首尾相連形成閉合循環時，稱為有向歐拉回路，對應的圖稱為歐拉有向圖（參考《離散數學及其應用》第8版，Kenneth Rosen著）。

判定條件需滿足兩點：

• 度數平衡性：每個頂點的入度（in-degree）與出度（out-degree）相等（適用于歐拉回路）；對于歐拉路徑，則需存在一個頂點出度比入度大1（起點），另一個頂點入度比出度大1（終點），其餘頂點度數平衡。
• 強連通性：圖中任意兩頂點間存在雙向可達路徑（據《圖論導引》Douglas B. West，2001年修訂版）。

應用實例包括：

• 交通流向優化中的單向道路網絡遍曆問題
• DNA測序中的序列拼接算法設計（引用自Journal of Computational Biology 2020年綜述）

數學表達式可表示為：對于有向圖$G=(V,E)$，其歐拉性需滿足

$$

forall v in V, quad text{in-degree}(v) = text{out-degree}(v)

$$

（回路情形），或僅有兩個頂點例外（路徑情形）。

網絡擴展解釋

“歐拉有向圖”是指滿足歐拉回路或歐拉路徑條件的有向圖。具體解釋如下：

1.基本定義

• 歐拉回路：有向圖中一條閉合路徑，經過每條邊恰好一次，且起點與終點重合。
• 歐拉路徑：有向圖中一條非閉合路徑，經過每條邊恰好一次，但起點與終點不同。

2.存在條件

歐拉回路的充要條件（有向圖存在閉合歐拉路徑）：

• 強連通性：圖中任意兩個頂點可通過有向路徑互相到達。
• 入度等于出度：每個頂點的入度（進入的邊數）必須等于其出度（出去的邊數）。

歐拉路徑的充要條件（有向圖存在非閉合歐拉路徑）：

• 連通性：忽略邊的方向後，圖是連通的。
• 頂點度數差：
  • 恰好一個頂點的出度 = 入度 + 1（起點）。
  • 恰好一個頂點的入度 = 出度 + 1（終點）。
  • 其餘頂點入度等于出度。

3.例子

• 歐拉回路示例：一個有向環（每個頂點入度=出度=1）。
• 歐拉路徑示例：A→B→C→A→D，其中A的出度=2、入度=1，D的入度=1、出度=0，其餘頂點入度=出度。

4.應用

• 網絡流量分析、DNA序列組裝等需要遍曆所有有向邊的場景。
• 算法（如Hierholzer算法）可高效求解有向圖的歐拉路徑/回路。

5.與無向圖的區别

無向圖中歐拉路徑要求所有頂點度數為偶數（回路）或恰好兩個頂點度數為奇數（路徑），而有向圖需通過入度/出度判斷，且對連通性要求更嚴格。

分類

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