英语翻译：

【计】 Euler digraph; Eulerian digraph

分词翻译：

欧拉的英语翻译：

【计】 EULER

有向图的英语翻译：

【计】 digraph; directed graph; oriented graph
【化】 digraph

专业解析

欧拉有向图（Eulerian Digraph）是图论中描述具有特殊路径结构的定向网络模型。其核心定义可拆解为两部分：

1. 欧拉路径：若一个有向图中存在一条经过所有边恰好一次的路径，且路径方向与边方向一致，则该路径称为有向欧拉路径。
2. 欧拉回路：当上述路径首尾相连形成闭合循环时，称为有向欧拉回路，对应的图称为欧拉有向图（参考《离散数学及其应用》第8版，Kenneth Rosen著）。

判定条件需满足两点：

• 度数平衡性：每个顶点的入度（in-degree）与出度（out-degree）相等（适用于欧拉回路）；对于欧拉路径，则需存在一个顶点出度比入度大1（起点），另一个顶点入度比出度大1（终点），其余顶点度数平衡。
• 强连通性：图中任意两顶点间存在双向可达路径（据《图论导引》Douglas B. West，2001年修订版）。

应用实例包括：

• 交通流向优化中的单向道路网络遍历问题
• DNA测序中的序列拼接算法设计（引用自Journal of Computational Biology 2020年综述）

数学表达式可表示为：对于有向图$G=(V,E)$，其欧拉性需满足

$$

forall v in V, quad text{in-degree}(v) = text{out-degree}(v)

$$

（回路情形），或仅有两个顶点例外（路径情形）。

网络扩展解释

“欧拉有向图”是指满足欧拉回路或欧拉路径条件的有向图。具体解释如下：

1.基本定义

• 欧拉回路：有向图中一条闭合路径，经过每条边恰好一次，且起点与终点重合。
• 欧拉路径：有向图中一条非闭合路径，经过每条边恰好一次，但起点与终点不同。

2.存在条件

欧拉回路的充要条件（有向图存在闭合欧拉路径）：

• 强连通性：图中任意两个顶点可通过有向路径互相到达。
• 入度等于出度：每个顶点的入度（进入的边数）必须等于其出度（出去的边数）。

欧拉路径的充要条件（有向图存在非闭合欧拉路径）：

• 连通性：忽略边的方向后，图是连通的。
• 顶点度数差：
  • 恰好一个顶点的出度 = 入度 + 1（起点）。
  • 恰好一个顶点的入度 = 出度 + 1（终点）。
  • 其余顶点入度等于出度。

3.例子

• 欧拉回路示例：一个有向环（每个顶点入度=出度=1）。
• 欧拉路径示例：A→B→C→A→D，其中A的出度=2、入度=1，D的入度=1、出度=0，其余顶点入度=出度。

4.应用

• 网络流量分析、DNA序列组装等需要遍历所有有向边的场景。
• 算法（如Hierholzer算法）可高效求解有向图的欧拉路径/回路。

5.与无向图的区别

无向图中欧拉路径要求所有顶点度数为偶数（回路）或恰好两个顶点度数为奇数（路径），而有向图需通过入度/出度判断，且对连通性要求更严格。

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