逆幂法英文解釋翻譯、逆幂法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 inverse power method

分詞翻譯：

逆的英語翻譯：

athwart; contradictorily; counter; disobey; go against; inverse
【醫】 contra-

幂的英語翻譯：

【計】 power set

法的英語翻譯：

dharma; divisor; follow; law; standard
【醫】 method
【經】 law

專業解析

逆幂法（Inverse Power Method）是一種數值線性代數中的疊代算法，主要用于計算矩陣的最小特征值（按模計）及其對應的特征向量。其名稱直觀反映了該方法的核心思想：通過求解矩陣的逆（或等價地，求解線性方程組）來疊代逼近目标特征值。

以下是該方法的詳細解釋：

核心目标：
- 計算一個給定方陣 ( A ) 的最小特征值（按模計）( lambda{min} ) 及其對應的特征向量 ( v{min} )。
數學原理：
- 設矩陣 ( A ) 可逆，其特征值為 ( lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n )（按模從大到小排列：( |lambda_1| geq |lambda_2| geq dots geq |lambda_n| > 0 )），對應的特征向量為 ( v_1, v_2, dots, v_n )。
- 矩陣 ( A^{-1} ) 的特征值是 ( A ) 的特征值的倒數，即 ( 1/lambda_1, 1/lambda_2, dots, 1/lambda_n )。
- 由于 ( |lambda_n| ) 是 ( A ) 的最小特征值模，則 ( |1/lambda_n| ) 是 ( A^{-1} ) 的最大特征值模。
- 因此，對矩陣 ( A^{-1} ) 應用标準的幂法（Power Method），即可求出其主特征值 ( 1/lambda_n ) 及對應的特征向量 ( v_n )。
- 最終，( lambda_n = 1 / (A^{-1} text{的主特征值}) ) 即為所求的最小特征值，( v_n ) 即為對應的特征向量。
疊代過程（基本步驟）：
- 步驟 1：初始化。選擇一個非零初始向量 ( x^{(0)} )（通常隨機選取或具有一定分量）。
- 步驟 2：疊代求解。對于 ( k = 0, 1, 2, dots )：
  - 求解線性方程組： ( A y^{(k+1)} = x^{(k)} ) （這等價于計算 ( y^{(k+1)} = A^{-1} x^{(k)} )，但實際計算中避免顯式求逆）。
  - 規範化： ( x^{(k+1)} = y^{(k+1)} / | y^{(k+1)} | ) （通常取無窮範數或 2 範數）。
- 步驟 3：特征值估計。當疊代收斂（( x^{(k+1)} ) 變化很小）時，特征值近似值可通過瑞利商（Rayleigh Quotient）計算： [ lambda{min} approx frac{(x^{(k)})^T A x^{(k)}}{(x^{(k)})^T x^{(k)}} quad text{或} quad lambda{min} approx frac{(x^{(k)})^T x^{(k-1)}}{(x^{(k)})^T x^{(k)}} quad (text{使用特定範數時}) ] 向量 ( x^{(k)} ) 即為對應的近似特征向量。
關鍵點與優勢：
- 求解線性系統：核心步驟是求解 ( A y = x^{(k)} )。實際應用中，常對矩陣 ( A ) 進行 LU 分解等預處理，使得每次疊代求解該方程高效進行。
- 收斂性：收斂速度取決于比值 ( |lambdan| / |lambda{n-1}| )。該比值越小（即次小特征值與最小特征值差距越大），收斂越快。
- 移位加速：為了改善收斂速度或計算靠近某個數 ( mu ) 的特征值，常采用帶移位的逆幂法（Shifted Inverse Power Method）。此時疊代方程為 ( (A - mu I) y^{(k+1)} = x^{(k)} )，最終收斂到最接近 ( mu ) 的特征值及其向量。當 ( mu ) 接近某個特征值時，此方法收斂極快。
- 計算最小特征值：是逆幂法最典型的應用場景。
英文對應術語：
- 逆幂法： Inverse Power Method / Inverse Iteration (這兩個術語常可互換使用，但 Inverse Iteration 更通用，常包含移位情形)。
- 最小特征值： Smallest Eigenvalue (in modulus) / Eigenvalue of Smallest Magnitude.
- 特征向量： Eigenvector.
- 疊代： Iteration.
- 線性方程組： System of Linear Equations.
- 規範化： Normalization.
- 瑞利商： Rayleigh Quotient.
- 移位： Shift.
- 帶移位的逆幂法： Shifted Inverse Power Method / Inverse Iteration with Shift.

逆幂法是一種通過疊代求解線性方程組 ( A y = x )（即利用矩陣 ( A ) 的逆的運算）來逼近矩陣最小特征值（或靠近給定移位的特征值）及其特征向量的有效數值方法。其核心優勢在于能夠精确計算特定的特征對，尤其在結合移位技術時效率顯著。

網絡擴展解釋

逆幂法（Inverse Power Method）是一種用于計算矩陣最小模特征值及其對應特征向量的數值算法，屬于幂法（Power Method）的擴展。其核心思想是通過對矩陣的逆進行疊代，從而将收斂方向從最大特征值轉向最小特征值。以下是詳細解釋：

基本原理

核心公式：
對于矩陣 ( A )，若其可逆且存在特征值 (lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n)（按模排序滿足 (|lambda_1| geq |lambda_2| geq dots geq |lambda_n|)），則 ( A^{-1} ) 的特征值為 ( 1/lambdan, 1/lambda{n-1}, dots, 1/lambda_1 )。
逆幂法對 ( A^{-1} ) 應用标準幂法，從而收斂到 ( A^{-1} ) 的模最大特征值（即 ( A ) 的模最小特征值 ( lambda_n )）。
疊代過程：
- 初始化非零向量 ( mathbf{v}^{(0)} )。
- 疊代步驟：
  [ mathbf{v}^{(k+1)} = frac{A^{-1} mathbf{v}^{(k)}}{| A^{-1} mathbf{v}^{(k)} |} ]
- 最終收斂到 ( A ) 的最小模特征值對應的特征向量。

關鍵特點

適用場景：
- 計算矩陣的最小模特征值（如求解線性系統的穩定性問題時需要的最小特征值）。
- 帶位移的逆幂法（Shifted Inverse Power Method）可進一步用于計算離某特定值最近的特征值，公式為： [ (A - sigma I)^{-1} mathbf{v}^{(k)} ] 其中 (sigma) 是位移參數，用于逼近靠近 (sigma) 的特征值。
優勢：
- 收斂速度由相鄰特征值的比值決定，若最小特征值與其他特征值差距較大，收斂較快。
- 結合位移策略後，可靈活定位任意特征值。
局限性：
- 需要矩陣 ( A ) 可逆（即 ( A ) 無零特征值）。
- 每次疊代需計算 ( A^{-1} mathbf{v} )，實際中通過解線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{v}^{(k)} ) 實現，計算成本較高。

應用舉例

假設矩陣 ( A ) 的特征值為 ( 5, 3, 1 )，則 ( A^{-1} ) 的特征值為 ( 1, 1/3, 1/5 )。逆幂法對 ( A^{-1} ) 疊代時，會收斂到 ( 1 )（即 ( A ) 的最小模特征值 ( 1 )）。

逆幂法通過矩陣求逆将問題轉化為幂法的标準形式，是求解最小特征值的高效算法，尤其適用于需要精确計算特定特征值的科學計算問題（如結構力學中的固有頻率分析）。實際應用中常結合LU分解等技術優化計算效率。