逆幂法英文解释翻译、逆幂法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 inverse power method

分词翻译：

逆的英语翻译：

athwart; contradictorily; counter; disobey; go against; inverse
【医】 contra-

幂的英语翻译：

【计】 power set

法的英语翻译：

dharma; divisor; follow; law; standard
【医】 method
【经】 law

专业解析

逆幂法（Inverse Power Method）是一种数值线性代数中的迭代算法，主要用于计算矩阵的最小特征值（按模计）及其对应的特征向量。其名称直观反映了该方法的核心思想：通过求解矩阵的逆（或等价地，求解线性方程组）来迭代逼近目标特征值。

以下是该方法的详细解释：

核心目标：
- 计算一个给定方阵 ( A ) 的最小特征值（按模计）( lambda{min} ) 及其对应的特征向量 ( v{min} )。
数学原理：
- 设矩阵 ( A ) 可逆，其特征值为 ( lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n )（按模从大到小排列：( |lambda_1| geq |lambda_2| geq dots geq |lambda_n| > 0 )），对应的特征向量为 ( v_1, v_2, dots, v_n )。
- 矩阵 ( A^{-1} ) 的特征值是 ( A ) 的特征值的倒数，即 ( 1/lambda_1, 1/lambda_2, dots, 1/lambda_n )。
- 由于 ( |lambda_n| ) 是 ( A ) 的最小特征值模，则 ( |1/lambda_n| ) 是 ( A^{-1} ) 的最大特征值模。
- 因此，对矩阵 ( A^{-1} ) 应用标准的幂法（Power Method），即可求出其主特征值 ( 1/lambda_n ) 及对应的特征向量 ( v_n )。
- 最终，( lambda_n = 1 / (A^{-1} text{的主特征值}) ) 即为所求的最小特征值，( v_n ) 即为对应的特征向量。
迭代过程（基本步骤）：
- 步骤 1：初始化。选择一个非零初始向量 ( x^{(0)} )（通常随机选取或具有一定分量）。
- 步骤 2：迭代求解。对于 ( k = 0, 1, 2, dots )：
  - 求解线性方程组： ( A y^{(k+1)} = x^{(k)} ) （这等价于计算 ( y^{(k+1)} = A^{-1} x^{(k)} )，但实际计算中避免显式求逆）。
  - 规范化： ( x^{(k+1)} = y^{(k+1)} / | y^{(k+1)} | ) （通常取无穷范数或 2 范数）。
- 步骤 3：特征值估计。当迭代收敛（( x^{(k+1)} ) 变化很小）时，特征值近似值可通过瑞利商（Rayleigh Quotient）计算： [ lambda{min} approx frac{(x^{(k)})^T A x^{(k)}}{(x^{(k)})^T x^{(k)}} quad text{或} quad lambda{min} approx frac{(x^{(k)})^T x^{(k-1)}}{(x^{(k)})^T x^{(k)}} quad (text{使用特定范数时}) ] 向量 ( x^{(k)} ) 即为对应的近似特征向量。
关键点与优势：
- 求解线性系统：核心步骤是求解 ( A y = x^{(k)} )。实际应用中，常对矩阵 ( A ) 进行 LU 分解等预处理，使得每次迭代求解该方程高效进行。
- 收敛性：收敛速度取决于比值 ( |lambdan| / |lambda{n-1}| )。该比值越小（即次小特征值与最小特征值差距越大），收敛越快。
- 移位加速：为了改善收敛速度或计算靠近某个数 ( mu ) 的特征值，常采用带移位的逆幂法（Shifted Inverse Power Method）。此时迭代方程为 ( (A - mu I) y^{(k+1)} = x^{(k)} )，最终收敛到最接近 ( mu ) 的特征值及其向量。当 ( mu ) 接近某个特征值时，此方法收敛极快。
- 计算最小特征值：是逆幂法最典型的应用场景。
英文对应术语：
- 逆幂法： Inverse Power Method / Inverse Iteration (这两个术语常可互换使用，但 Inverse Iteration 更通用，常包含移位情形)。
- 最小特征值： Smallest Eigenvalue (in modulus) / Eigenvalue of Smallest Magnitude.
- 特征向量： Eigenvector.
- 迭代： Iteration.
- 线性方程组： System of Linear Equations.
- 规范化： Normalization.
- 瑞利商： Rayleigh Quotient.
- 移位： Shift.
- 带移位的逆幂法： Shifted Inverse Power Method / Inverse Iteration with Shift.

逆幂法是一种通过迭代求解线性方程组 ( A y = x )（即利用矩阵 ( A ) 的逆的运算）来逼近矩阵最小特征值（或靠近给定移位的特征值）及其特征向量的有效数值方法。其核心优势在于能够精确计算特定的特征对，尤其在结合移位技术时效率显著。

网络扩展解释

逆幂法（Inverse Power Method）是一种用于计算矩阵最小模特征值及其对应特征向量的数值算法，属于幂法（Power Method）的扩展。其核心思想是通过对矩阵的逆进行迭代，从而将收敛方向从最大特征值转向最小特征值。以下是详细解释：

基本原理

核心公式：
对于矩阵 ( A )，若其可逆且存在特征值 (lambda_1, lambda_2, dots, lambda_n)（按模排序满足 (|lambda_1| geq |lambda_2| geq dots geq |lambda_n|)），则 ( A^{-1} ) 的特征值为 ( 1/lambdan, 1/lambda{n-1}, dots, 1/lambda_1 )。
逆幂法对 ( A^{-1} ) 应用标准幂法，从而收敛到 ( A^{-1} ) 的模最大特征值（即 ( A ) 的模最小特征值 ( lambda_n )）。
迭代过程：
- 初始化非零向量 ( mathbf{v}^{(0)} )。
- 迭代步骤：
  [ mathbf{v}^{(k+1)} = frac{A^{-1} mathbf{v}^{(k)}}{| A^{-1} mathbf{v}^{(k)} |} ]
- 最终收敛到 ( A ) 的最小模特征值对应的特征向量。

关键特点

适用场景：
- 计算矩阵的最小模特征值（如求解线性系统的稳定性问题时需要的最小特征值）。
- 带位移的逆幂法（Shifted Inverse Power Method）可进一步用于计算离某特定值最近的特征值，公式为： [ (A - sigma I)^{-1} mathbf{v}^{(k)} ] 其中 (sigma) 是位移参数，用于逼近靠近 (sigma) 的特征值。
优势：
- 收敛速度由相邻特征值的比值决定，若最小特征值与其他特征值差距较大，收敛较快。
- 结合位移策略后，可灵活定位任意特征值。
局限性：
- 需要矩阵 ( A ) 可逆（即 ( A ) 无零特征值）。
- 每次迭代需计算 ( A^{-1} mathbf{v} )，实际中通过解线性方程组 ( Amathbf{x} = mathbf{v}^{(k)} ) 实现，计算成本较高。

应用举例

假设矩阵 ( A ) 的特征值为 ( 5, 3, 1 )，则 ( A^{-1} ) 的特征值为 ( 1, 1/3, 1/5 )。逆幂法对 ( A^{-1} ) 迭代时，会收敛到 ( 1 )（即 ( A ) 的最小模特征值 ( 1 )）。

逆幂法通过矩阵求逆将问题转化为幂法的标准形式，是求解最小特征值的高效算法，尤其适用于需要精确计算特定特征值的科学计算问题（如结构力学中的固有频率分析）。实际应用中常结合LU分解等技术优化计算效率。