離散傅裡葉變換英文解釋翻譯、離散傅裡葉變換的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 DFT; discrete Fourier transform

分詞翻譯：

離散的英語翻譯：

disperse; scatter
【計】 dissociaton
【醫】 straggling

傅裡葉變換的英語翻譯：

【計】 Fourier transform

專業解析

離散傅裡葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）是信號處理領域的核心數學工具，它将有限長度的離散時間序列從時域轉換到頻域。其定義為：對長度為$N$的序列$x[n]$，DFT計算結果$X[k]$為 $$ X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] cdot e^{-jfrac{2pi}{N}kn} $$ 其中$k=0,1,...,N-1$，該公式實現了信號能量在正交基函數上的投影分解。

在工程實踐中，DFT具有三項核心功能：①檢測信號中隱含的周期成分頻率（如通信系統中的載波頻率分析）；②實現線性卷積運算的頻域等效（通過FFT加速卷積計算）；③構建數字濾波器的頻域響應模型（用于濾波器設計驗證）。

與連續傅裡葉變換相比，DFT存在兩點本質差異：采樣信號必須滿足Nyquist定理以避免混疊，且頻域分辨率受限于采樣時長（$Delta f = 1/(N cdot T_s)$）。當前主流的快速實現算法FFT（Fast Fourier Transform）将計算複雜度從$O(N)$降至$O(N log N)$，使實時頻譜分析成為可能。

參考來源：

MIT OpenCourseWare《信號處理基礎》課程資料
IEEE Xplore《數字信號處理算法》研究論文
奧本海姆《離散時間信號處理》第三版
MathWorks官方FFT技術文檔
清華大學《數字信號處理》國家級精品課程
國際電氣電子工程師協會（IEEE）标準文件庫

網絡擴展解釋

離散傅裡葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT）是一種将有限長度的離散時間信號轉換為頻域表示的數學工具，廣泛應用于信號處理、圖像分析、通信等領域。以下是其核心要點：

1. 基本定義

DFT将長度為( N )的離散序列( x(n) )（時域）轉換為相同長度的複數序列( X(k) )（頻域），公式為： $$ X(k) = sum{n=0}^{N-1} x(n) cdot e^{-j frac{2pi}{N} kn} quad (0 leq k leq N-1) $$ 逆變換（IDFT）則為： $$ x(n) = frac{1}{N} sum{k=0}^{N-1} X(k) cdot e^{j frac{2pi}{N} kn} quad (0 leq n leq N-1) $$

符號含義：
- ( x(n) ): 時域采樣點
- ( X(k) ): 頻域第( k )個頻率分量的幅度和相位
- ( e^{-j frac{2pi}{N} kn} ): 複指數基函數，表示不同頻率的正弦/餘弦分量。

2. 核心作用

頻域分解：将信號分解為不同頻率的正弦/餘弦分量，揭示信號的頻率成分。
周期性假設：DFT隱含假設輸入信號是周期性的（周期為( N )），可能導緻頻譜洩漏（需通過加窗緩解）。
高效計算：通過快速傅裡葉變換（FFT）算法，複雜度從( O(N) )降至( O(N log N) )。

3. 與其他傅裡葉變換的區别

變換類型	輸入信號特性	輸出特性	應用場景
連續傅裡葉變換	連續、非周期	連續頻域	理論分析
離散時間傅裡葉變換	離散、無限長	連續頻域（周期 ( 2pi )）	理論分析
離散傅裡葉變換	離散、有限長	離散頻域	實際數字信號處理

4. 應用場景

頻譜分析：音頻信號頻率成分檢測（如音樂均衡器）。
濾波：通過頻域修改實現噪聲消除。
數據壓縮：保留主要頻率成分（如JPEG圖像壓縮）。
通信系統：正交頻分複用（OFDM）技術的基礎。

5. 示例說明

假設時域序列為( x(n) = [1, 0, -1, 0] )，其DFT計算如下：

( X(0) = 1 + 0 + (-1) + 0 = 0 )
( X(1) = 1 cdot e^{-j frac{pi}{2} cdot 1 cdot 0} + 0 cdot e^{-j frac{pi}{2} cdot 1 cdot 1} + cdots = 1 - j0 -1 + j0 = 0 )
（實際計算需展開所有項，此處簡化演示過程）

DFT是連接時域與頻域的橋梁，為數字信號處理提供了基礎工具。其局限性（如頻譜洩漏）可通過加窗或調整采樣長度優化，而FFT算法進一步推動了實時處理的應用。