連續函數英文解釋翻譯、連續函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 continuous function

sequence; progression; concatenation; continuum; run; series
【醫】 continuation; continuity; per continuum
【經】 continuation

function
【計】 F; FUNC; function

在數學分析中，連續函數（Continuous Function）是描述函數行為平滑性的核心概念，其定義可從中英文視角闡釋如下：

中文定義
若函數 ( f(x) ) 在點 ( x0 ) 的鄰域内有定義，且滿足極限值等于函數值： $$ lim{{x to x_0}} f(x) = f(x_0) $$ 則稱 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 處連續。若其在定義域每一點連續，則為連續函數。
英文定義（Continuous Function）
A function ( f ) is continuous at a point ( c ) if:
- ( f(c) ) is defined
- (lim_{{x to c}} f(x)) exists
- (lim_{{x to c}} f(x) = f(c)) 若該條件在整個定義域成立，則稱 ( f ) 為連續函數。

局部有界性
在閉區間上連續的函數必有界，且可取得最大值與最小值（極值定理）。
介值性（Intermediate Value Theorem）
若 ( f ) 在 ([a,b]) 連續，且 ( f(a) eq f(b) )，則對任意 ( k ) 介于 ( f(a) ) 與 ( f(b) ) 之間，存在 ( c in (a,b) ) 使得 ( f(c) = k ) 。
運算封閉性
連續函數的和、差、積、商（分母非零）及複合函數仍保持連續性。

參考文獻

連續函數是數學分析中的一個核心概念，其核心特征是“無間斷性”，以下是詳細解釋：

一、直觀理解連續函數的圖像可以一筆畫成，沒有斷裂或跳躍。例如抛物線( f(x) = x )的曲線平滑無缺口，而分段函數如( f(x) = begin{cases} x & x geq 0x+1 & x < 0 end{cases} )在( x=0 )處存在跳躍，屬于不連續。

二、數學定義

點連續：若函數( f(x) )在點( a )滿足 [ lim_{x to a} f(x) = f(a) ] 則稱其在( a )處連續。
嚴格定義（ε-δ語言）：對任意( varepsilon > 0 )，存在( delta > 0 )，使得當( |x - a| < delta )時，有( |f(x) - f(a)| < varepsilon )。

三、典型例子

四、重要性質

五、應用意義連續性是微積分的基礎，保證了極限運算與函數值的可交換性（( lim f(x) = f(lim x) )）。它在物理、工程等領域廣泛應用，例如描述溫度變化、運動軌迹等自然現象。需注意：連續函數未必可導（如( |x| )在( x=0 )處），但可導函數一定連續。