连续函数英文解释翻译、连续函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 continuous function

sequence; progression; concatenation; continuum; run; series
【医】 continuation; continuity; per continuum
【经】 continuation

function
【计】 F; FUNC; function

在数学分析中，连续函数（Continuous Function）是描述函数行为平滑性的核心概念，其定义可从中英文视角阐释如下：

中文定义
若函数 ( f(x) ) 在点 ( x0 ) 的邻域内有定义，且满足极限值等于函数值： $$ lim{{x to x_0}} f(x) = f(x_0) $$ 则称 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 处连续。若其在定义域每一点连续，则为连续函数。
英文定义（Continuous Function）
A function ( f ) is continuous at a point ( c ) if:
- ( f(c) ) is defined
- (lim_{{x to c}} f(x)) exists
- (lim_{{x to c}} f(x) = f(c)) 若该条件在整个定义域成立，则称 ( f ) 为连续函数。

局部有界性
在闭区间上连续的函数必有界，且可取得最大值与最小值（极值定理）。
介值性（Intermediate Value Theorem）
若 ( f ) 在 ([a,b]) 连续，且 ( f(a) eq f(b) )，则对任意 ( k ) 介于 ( f(a) ) 与 ( f(b) ) 之间，存在 ( c in (a,b) ) 使得 ( f(c) = k ) 。
运算封闭性
连续函数的和、差、积、商（分母非零）及复合函数仍保持连续性。

参考文献

连续函数是数学分析中的一个核心概念，其核心特征是“无间断性”，以下是详细解释：

一、直观理解连续函数的图像可以一笔画成，没有断裂或跳跃。例如抛物线( f(x) = x )的曲线平滑无缺口，而分段函数如( f(x) = begin{cases} x & x geq 0x+1 & x < 0 end{cases} )在( x=0 )处存在跳跃，属于不连续。

二、数学定义

点连续：若函数( f(x) )在点( a )满足 [ lim_{x to a} f(x) = f(a) ] 则称其在( a )处连续。
严格定义（ε-δ语言）：对任意( varepsilon > 0 )，存在( delta > 0 )，使得当( |x - a| < delta )时，有( |f(x) - f(a)| < varepsilon )。

三、典型例子

四、重要性质

五、应用意义连续性是微积分的基础，保证了极限运算与函数值的可交换性（( lim f(x) = f(lim x) )）。它在物理、工程等领域广泛应用，例如描述温度变化、运动轨迹等自然现象。需注意：连续函数未必可导（如( |x| )在( x=0 )处），但可导函数一定连续。