【計】 lagrange inversion formula
拉格朗日反演公式（Lagrange Inversion Formula）是複分析中用于求解解析函數逆展開的重要工具。其核心思想是：若解析函數$f(z)$在$z=a$處滿足$f(a)=b$且$f'(a) eq 0$，則其逆函數$g(w)$在$w=b$附近可展開為幂級數，具體系數由導數形式的高階項決定。
設$f(z)$在鄰域$D$内解析，且滿足$f(a)=b$、$f'(a) eq 0$，則逆函數$g(w)$的展開式為： $$ g(w) = a + sum{n=1}^{infty} frac{(w-b)^n}{n!} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} left( frac{z-a}{f(z)-b} right)^n right]{z=a} $$ 該公式通過高階導數計算逆函數的顯式展開系數，適用于形式幂級數反演。
| 中文術語 | 英文術語 |
|---|---|
| 拉格朗日反演公式 | Lagrange Inversion Theorem |
| 解析函數 | analytic function |
| 幂級數展開 | power series expansion |
| 高階導數 | higher-order derivatives |
拉格朗日反演公式（Lagrange Inversion Theorem）是複分析和組合數學中的重要工具，用于從隱函數或幂級數的形式中顯式地求解逆函數的展開系數。以下是其核心内容和應用：
若函數 ( f(z) ) 在 ( z=0 ) 處解析，且滿足 ( f(0) eq 0 ) 和 ( f'(0) eq 0 )，則存在唯一的逆函數 ( z = g(w) ) 使得 ( w = z/f(z) )。拉格朗日反演公式提供了通過 ( f(z) ) 的展開系數計算逆函數 ( g(w) ) 的顯式方法。
設 ( w = z/f(z) )，則逆函數 ( z = g(w) ) 的幂級數展開為： $$ z = sum{n=1}^infty frac{w^n}{n} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} left( f(z)^n right) right]{z=0} $$ 進一步地，若 ( h(z) ) 是另一個解析函數，則： $$ h(g(w)) = h(0) + sum{n=1}^infty frac{w^n}{n} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} left( h'(z) cdot f(z)^n right) right]{z=0} $$
組合計數
用于計算樹形結構（如二叉樹、卡塔蘭數）的生成函數系數。例如，卡塔蘭數 ( C_n = frac{1}{n+1}binom{2n}{n} ) 可通過拉格朗日反演從生成函數 ( w = z(1 + w) ) 中導出。
複分析
求解解析函數的逆函數展開式，例如在黎曼面理論中構造局部坐标變換。
微分方程
對某些隱式定義的微分方程解進行級數展開。
設生成函數 ( w = z(1 + w) )，要求解 ( w ) 的級數展開系數 ( C_n )（即卡塔蘭數）。
應用拉格朗日反演公式：
$$
Cn = frac{1}{n} cdot left[ frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} (1 + z)^{2n} right]{z=0} = frac{1}{n} binom{2n}{n-1} = frac{1}{n+1}binom{2n}{n}
$$
當 ( w = z/f(z) ) 推廣到多元情況時，公式可擴展為拉格朗日-古德（Good）公式，用于多變量級數反演。此外，在非交換代數中也有類似形式。
拉格朗日反演公式通過将隱式關系轉化為顯式級數，成為連接分析與組合數學的橋梁，其簡潔性和普適性使其在多個領域廣泛應用。
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