幾何分布英文解釋翻譯、幾何分布的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 geometric distribution

分詞翻譯：

幾的英語翻譯：

a few; a small table; how many; nearly; several

何的英語翻譯：

what; where; who; why

分布的英語翻譯：

【化】 distribution
【醫】 distribution; supply

專業解析

幾何分布（Geometric Distribution）是一種離散概率分布，用于描述在一系列獨立的伯努利試驗（Bernoulli Trials）中，首次取得成功所需的試驗次數（或直到第一次成功所需的試驗次數）。

1.核心定義

漢英對照：
- 幾何分布 (Jǐhé Fēnbù) - Geometric Distribution
- 伯努利試驗 (Bónǔlì Shìyàn) - Bernoulli Trial：指隻有兩種可能結果（通常稱為“成功”和“失敗”）的隨機試驗，且每次試驗的成功概率 $p$ 恒定，失敗概率為 $q = 1 - p$ 。
- 首次成功 (Shǒucì Chénggōng) - First Success：關注點在于第一次出現“成功”結果發生在第幾次試驗。
隨機變量 $X$ ：表示首次成功發生所需的試驗次數。因此， $X$ 的可能取值為正整數 $1, 2, 3, ldots$ 。
概率質量函數 (PMF)：隨機變量 $X$ 取值 $k$ （即第 $k$ 次試驗首次成功）的概率為： $$ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p $$
- $p$ ：單次伯努利試驗中成功的概率 ( $0 < p leq 1$ )。
- $k$ ：試驗次數 ( $k = 1, 2, 3, ldots$ )。公式表示前 $k-1$ 次都失敗（概率為 $(1-p)^{k-1}$ ），第 $k$ 次成功（概率為 $p$ ）。

2.關鍵特性

無記憶性 (Memoryless Property)：幾何分布具有獨特的無記憶性。這意味着在已經經曆了 $m$ 次失敗後，要再經曆 $n$ 次失敗才首次成功的條件概率，與從一開始就需要經曆 $n$ 次失敗才首次成功的概率相同。用公式表示為： $$ P(X > m + n | X > m) = P(X > n) $$ 其中 $m, n$ 為非負整數。這個特性是幾何分布獨有的。
期望與方差：
- 期望 (均值) $E(X)$ ： $E(X) = frac{1}{p}$ 。表示平均需要 $frac{1}{p}$ 次試驗才能獲得首次成功。
- 方差 $Var(X)$ ： $Var(X) = frac{1 - p}{p}$ 。衡量試驗次數的離散程度。

3.實際應用示例

抛硬币：抛一枚公平硬币（正面向上概率 $p = 0.5$ ），直到第一次出現正面向上所需的抛擲次數 $X$ 服從幾何分布。例如， $P(X = 3) = (0.5)^{2} * 0.5 = 0.125$ ，表示第三次才抛出正面的概率是 12.5%。
産品質檢：在一條生産線上逐個檢查産品，假設每個産品是次品的概率為 $p$ （獨立）。則首次檢測到次品時已經檢查過的合格品數量 $Y$ （注意： $Y = X - 1$ ，首次成功前的失敗次數）也服從幾何分布（另一種定義形式）。
遊戲抽卡：在抽卡遊戲中，假設每次單抽獲得特定稀有物品的概率為 $p$ （且各次獨立）。則玩家首次抽到該稀有物品所需的抽卡次數 $X$ 服從幾何分布。

4.與其他分布的關系

負二項分布 (Negative Binomial Distribution)：幾何分布是負二項分布的一個特例。負二項分布描述的是獲得 $r$ 次成功所需的試驗次數。當 $r = 1$ 時，負二項分布退化為幾何分布。
指數分布 (Exponential Distribution)：幾何分布是離散情況下的分布，而指數分布是連續情況下的分布。兩者都具有無記憶性。指數分布常用來描述連續時間中首次發生某個事件（如設備故障）所需的時間。

權威參考來源

中文權威定義：可參考高等教育出版社出版的《概率論與數理統計》教材（如盛驟、謝式千、潘承毅編）中關于離散型隨機變量分布的章節。這些教材對幾何分布的定義、性質和應用有嚴謹的數學描述。
英文權威定義：可參考以下資源：
- SpringerLink (Statistics Reference): 提供嚴謹的數學定義和性質闡述（例如檢索 “Geometric Distribution”）。來源：SpringerLink Statistics References。
- MIT OpenCourseWare (Introduction to Probability): 課程資料通常包含對幾何分布的清晰講解和示例。來源：MIT OCW 18.05 Introduction to Probability。
- Wolfram MathWorld: 提供詳細的數學定義、公式和特性說明。來源：Wolfram MathWorld - Geometric Distribution。

網絡擴展解釋

幾何分布是一種描述在一系列獨立重複的伯努利試驗中，首次成功所需試驗次數的概率分布。以下是詳細解釋：

核心定義

適用場景：進行隻有兩種結果（成功概率為( p )，失敗為( 1-p )）的試驗時，計算首次成功發生在第( k )次試驗的概率。
概率質量函數（PMF）： $$ P(X = k) = (1-p)^{k-1} cdot p quad text{（( k = 1,2,3,ldots )，( 0 < p leq 1 )）} $$ 其中，( k )表示首次成功時的總試驗次數。

關鍵性質

期望（均值）與方差：
- 期望值：( E(X) = frac{1}{p} )
- 方差：( text{Var}(X) = frac{1-p}{p} )
無記憶性：
- 已失敗( m )次後，仍需( n )次試驗才能成功的概率與從頭開始試驗的概率相同，即： $$ P(X = m+n mid X > m) = P(X = n) $$

實際應用

首次成功建模：如産品質檢中首次發現次品所需的檢測次數、客服電話首次接通前的等待次數。
風險評估：預測事件首次發生的可能性，例如自然災害或設備故障。

與其他分布的關系

與二項分布區别：二項分布描述固定次數試驗中的成功次數，幾何分布關注首次成功所需次數。
與負二項分布關系：負二項分布是幾何分布的推廣，描述第( r )次成功所需次數（當( r=1 )時即為幾何分布）。

示例

抛硬币直到第一次出現正面（成功概率( p=0.5 )）：

第1次成功概率：( P(1) = 0.5 )
第3次成功概率：( P(3) = (0.5) cdot 0.5 = 0.125 )

通過上述分析，幾何分布的核心在于描述“等待首次成功”的概率規律，其無記憶性和簡單形式使其在統計學和工程領域廣泛應用。