几何分布英文解释翻译、几何分布的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 geometric distribution

分词翻译：

几的英语翻译：

a few; a small table; how many; nearly; several

何的英语翻译：

what; where; who; why

分布的英语翻译：

【化】 distribution
【医】 distribution; supply

专业解析

几何分布（Geometric Distribution）是一种离散概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验（Bernoulli Trials）中，首次取得成功所需的试验次数（或直到第一次成功所需的试验次数）。

1.核心定义

汉英对照：
- 几何分布 (Jǐhé Fēnbù) - Geometric Distribution
- 伯努利试验 (Bónǔlì Shìyàn) - Bernoulli Trial：指只有两种可能结果（通常称为“成功”和“失败”）的随机试验，且每次试验的成功概率 $p$ 恒定，失败概率为 $q = 1 - p$ 。
- 首次成功 (Shǒucì Chénggōng) - First Success：关注点在于第一次出现“成功”结果发生在第几次试验。
随机变量 $X$ ：表示首次成功发生所需的试验次数。因此， $X$ 的可能取值为正整数 $1, 2, 3, ldots$ 。
概率质量函数 (PMF)：随机变量 $X$ 取值 $k$ （即第 $k$ 次试验首次成功）的概率为： $$ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p $$
- $p$ ：单次伯努利试验中成功的概率 ( $0 < p leq 1$ )。
- $k$ ：试验次数 ( $k = 1, 2, 3, ldots$ )。公式表示前 $k-1$ 次都失败（概率为 $(1-p)^{k-1}$ ），第 $k$ 次成功（概率为 $p$ ）。

2.关键特性

无记忆性 (Memoryless Property)：几何分布具有独特的无记忆性。这意味着在已经经历了 $m$ 次失败后，要再经历 $n$ 次失败才首次成功的条件概率，与从一开始就需要经历 $n$ 次失败才首次成功的概率相同。用公式表示为： $$ P(X > m + n | X > m) = P(X > n) $$ 其中 $m, n$ 为非负整数。这个特性是几何分布独有的。
期望与方差：
- 期望 (均值) $E(X)$ ： $E(X) = frac{1}{p}$ 。表示平均需要 $frac{1}{p}$ 次试验才能获得首次成功。
- 方差 $Var(X)$ ： $Var(X) = frac{1 - p}{p}$ 。衡量试验次数的离散程度。

3.实际应用示例

抛硬币：抛一枚公平硬币（正面向上概率 $p = 0.5$ ），直到第一次出现正面向上所需的抛掷次数 $X$ 服从几何分布。例如， $P(X = 3) = (0.5)^{2} * 0.5 = 0.125$ ，表示第三次才抛出正面的概率是 12.5%。
产品质检：在一条生产线上逐个检查产品，假设每个产品是次品的概率为 $p$ （独立）。则首次检测到次品时已经检查过的合格品数量 $Y$ （注意： $Y = X - 1$ ，首次成功前的失败次数）也服从几何分布（另一种定义形式）。
游戏抽卡：在抽卡游戏中，假设每次单抽获得特定稀有物品的概率为 $p$ （且各次独立）。则玩家首次抽到该稀有物品所需的抽卡次数 $X$ 服从几何分布。

4.与其他分布的关系

负二项分布 (Negative Binomial Distribution)：几何分布是负二项分布的一个特例。负二项分布描述的是获得 $r$ 次成功所需的试验次数。当 $r = 1$ 时，负二项分布退化为几何分布。
指数分布 (Exponential Distribution)：几何分布是离散情况下的分布，而指数分布是连续情况下的分布。两者都具有无记忆性。指数分布常用来描述连续时间中首次发生某个事件（如设备故障）所需的时间。

权威参考来源

中文权威定义：可参考高等教育出版社出版的《概率论与数理统计》教材（如盛骤、谢式千、潘承毅编）中关于离散型随机变量分布的章节。这些教材对几何分布的定义、性质和应用有严谨的数学描述。
英文权威定义：可参考以下资源：
- SpringerLink (Statistics Reference): 提供严谨的数学定义和性质阐述（例如检索 “Geometric Distribution”）。来源：SpringerLink Statistics References。
- MIT OpenCourseWare (Introduction to Probability): 课程资料通常包含对几何分布的清晰讲解和示例。来源：MIT OCW 18.05 Introduction to Probability。
- Wolfram MathWorld: 提供详细的数学定义、公式和特性说明。来源：Wolfram MathWorld - Geometric Distribution。

网络扩展解释

几何分布是一种描述在一系列独立重复的伯努利试验中，首次成功所需试验次数的概率分布。以下是详细解释：

核心定义

适用场景：进行只有两种结果（成功概率为( p )，失败为( 1-p )）的试验时，计算首次成功发生在第( k )次试验的概率。
概率质量函数（PMF）： $$ P(X = k) = (1-p)^{k-1} cdot p quad text{（( k = 1,2,3,ldots )，( 0 < p leq 1 )）} $$ 其中，( k )表示首次成功时的总试验次数。

关键性质

期望（均值）与方差：
- 期望值：( E(X) = frac{1}{p} )
- 方差：( text{Var}(X) = frac{1-p}{p} )
无记忆性：
- 已失败( m )次后，仍需( n )次试验才能成功的概率与从头开始试验的概率相同，即： $$ P(X = m+n mid X > m) = P(X = n) $$

实际应用

首次成功建模：如产品质检中首次发现次品所需的检测次数、客服电话首次接通前的等待次数。
风险评估：预测事件首次发生的可能性，例如自然灾害或设备故障。

与其他分布的关系

与二项分布区别：二项分布描述固定次数试验中的成功次数，几何分布关注首次成功所需次数。
与负二项分布关系：负二项分布是几何分布的推广，描述第( r )次成功所需次数（当( r=1 )时即为几何分布）。

示例

抛硬币直到第一次出现正面（成功概率( p=0.5 )）：

第1次成功概率：( P(1) = 0.5 )
第3次成功概率：( P(3) = (0.5) cdot 0.5 = 0.125 )

通过上述分析，几何分布的核心在于描述“等待首次成功”的概率规律，其无记忆性和简单形式使其在统计学和工程领域广泛应用。