廣義逆矩陣英文解釋翻譯、廣義逆矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generalized inverse matrix

分詞翻譯：

廣義逆的英語翻譯：

【計】 generalized inverse

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

廣義逆矩陣（Generalized Inverse Matrix），在中文數學語境中也常稱為僞逆矩陣（Pseudo-inverse Matrix），是線性代數中逆矩陣概念在非方陣或奇異方陣（不可逆方陣）上的推廣。其英文對應術語為Generalized Inverse 或Pseudoinverse。

核心概念

标準逆矩陣的局限性：對于一個 (n times n) 的非奇異方陣（行列式不為零）(A)，存在唯一的逆矩陣 (A^{-1})，滿足 (AA^{-1} = A^{-1}A = I_n)（(I_n) 是單位陣）。然而，對于非方陣（(m times n, m eq n)）或奇異方陣（行列式為零），标準逆矩陣 (A^{-1}) 不存在。
廣義逆矩陣的定義：廣義逆矩陣 (A^+)（通常用此符號表示最常用的 Moore-Penrose 逆）或更一般地 (A^g)，是為非方陣或奇異方陣定義的矩陣，它在某種程度上模拟了标準逆矩陣的行為。它滿足以下部分或全部（對于 Moore-Penrose 逆則是全部）的 Penrose 條件：
- (AA^gA = A)
- (A^gAA^g = A^g)
- ((AA^g)^* = AA^g) （共轭轉置）
- ((A^gA)^* = A^gA) （共轭轉置）滿足全部四個條件的廣義逆稱為Moore-Penrose 逆，是最常用且唯一确定的廣義逆。

主要性質與應用

解線性方程組：對于線性方程組 (Amathbf{x} = mathbf{b})：
- 如果方程組相容（有解），則 (mathbf{x} = A^+ mathbf{b}) 是所有解中歐幾裡得範數（長度）最小的解（最小範數解）。
- 如果方程組不相容（無解），則 (mathbf{x} = A^+ mathbf{b}) 是所有最小二乘解中歐幾裡得範數最小的解（最小二乘最小範數解）。這使得廣義逆在回歸分析、信號處理等領域至關重要。
矩陣的秩：廣義逆可用于計算矩陣的秩。
投影算子：矩陣 (AA^+) 和 (A^+A) 分别是到矩陣 (A) 的列空間和行空間上的正交投影算子。

權威參考來源

廣義逆矩陣是線性代數和數值計算中的基礎概念，在以下權威數學著作和線上資源中有詳細闡述：

《矩陣計算》(Gene H. Golub, Charles F. Van Loan)：數值線性代數領域的經典教材，對廣義逆（特别是 Moore-Penrose 逆）的理論和計算方法有系統論述。 (來源： Golub & Van Loan, Matrix Computations)
《線性代數及其應用》(Gilbert Strang)：廣泛使用的線性代數教材，對廣義逆在解線性方程組（尤其是最小二乘問題）中的應用有清晰介紹。 (來源： Strang, Linear Algebra and Its Applications)
Roger Penrose 的原始工作：Moore-Penrose 逆的概念由 E. H. Moore 提出，并由 Roger Penrose 在 1955 年獨立重新發現并給出了上述四個公理化的定義。 (來源： Penrose, R. (1955). A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 51, 406-413.)
MathWorld (Wolfram Research)：提供嚴謹的數學定義和性質概述。 (來源： Weisstein, Eric W. "Moore-Penrose Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource)
Wikipedia "Moore–Penrose inverse" 詞條：提供詳細的曆史背景、定義、性質、計算方法和應用。 (來源： Wikipedia contributors. "Moore–Penrose inverse." Wikipedia, The Free Encyclopedia)

廣義逆矩陣（特别是 Moore-Penrose 逆）是處理非方陣、奇異矩陣以及求解不相容線性方程組的關鍵數學工具。它擴展了标準逆矩陣的功能，在最小二乘問題、系統控制、統計學、信號處理等衆多科學與工程領域具有不可替代的作用。其定義基于滿足特定的 Penrose 條件，确保了其在解決實際問題時的數學嚴謹性和實用性。

網絡擴展解釋

廣義逆矩陣（Generalized Inverse Matrix）是線性代數中用于處理非方陣或奇異矩陣（不可逆方陣）的一種推廣逆運算概念。當标準逆矩陣（即矩陣的逆）不存在時，廣義逆矩陣能提供類似逆矩陣的部分性質，常用于求解線性方程組、最小二乘問題等。

核心定義與類型

基本概念
對于任意矩陣 ( A in mathbb{C}^{m times n} )，若存在矩陣 ( A^g in mathbb{C}^{n times m} ) 滿足以下部分或全部條件，則稱 ( A^g ) 為 ( A ) 的廣義逆矩陣：
- MP1條件：( A A^g A = A )
- MP2條件：( A^g A A^g = A^g )
- MP3條件：( (A A^g)^* = A A^g )
- MP4條件：( (A^g A)^* = A^g A )
常見類型
- Moore-Penrose 僞逆（加號逆）：滿足全部四個條件，記為 ( A^+ )，是唯一且最常用的廣義逆。
- 減號逆（g逆）：僅滿足 MP1 條件，不唯一。

計算方法

通過奇異值分解（SVD）
若矩陣 ( A ) 的 SVD 分解為 ( A = U Sigma V^ )，則其 Moore-Penrose 僞逆為： $$ A^+ = V Sigma^+ U^ $$ 其中 ( Sigma^+ ) 是将 ( Sigma ) 的非零元素取倒數後轉置。
正規方程法
對于滿秩矩陣，若 ( A ) 列滿秩，則 ( A^+ = (A^ A)^{-1} A^ )；若行滿秩，則 ( A^+ = A^ (A A^)^{-1} )。

應用場景

線性方程組的解
當方程組 ( Ax = b ) 無解時，可用僞逆求最小二乘解：( x = A^+ b )。
數據拟合與優化
在統計學（如線性回歸）和信號處理中，僞逆用于最小化誤差。

廣義逆矩陣擴展了标準逆矩陣的適用範圍，尤其對病态矩陣或非方陣問題具有重要意義。其核心類型 Moore-Penrose 僞逆因唯一性和穩定性被廣泛使用，是解決實際問題（如數據分析、控制理論）的重要工具。