广义逆矩阵英文解释翻译、广义逆矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 generalized inverse matrix

分词翻译：

广义逆的英语翻译：

【计】 generalized inverse

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix），在中文数学语境中也常称为伪逆矩阵（Pseudo-inverse Matrix），是线性代数中逆矩阵概念在非方阵或奇异方阵（不可逆方阵）上的推广。其英文对应术语为Generalized Inverse 或Pseudoinverse。

核心概念

标准逆矩阵的局限性：对于一个 (n times n) 的非奇异方阵（行列式不为零）(A)，存在唯一的逆矩阵 (A^{-1})，满足 (AA^{-1} = A^{-1}A = I_n)（(I_n) 是单位阵）。然而，对于非方阵（(m times n, m eq n)）或奇异方阵（行列式为零），标准逆矩阵 (A^{-1}) 不存在。
广义逆矩阵的定义：广义逆矩阵 (A^+)（通常用此符号表示最常用的 Moore-Penrose 逆）或更一般地 (A^g)，是为非方阵或奇异方阵定义的矩阵，它在某种程度上模拟了标准逆矩阵的行为。它满足以下部分或全部（对于 Moore-Penrose 逆则是全部）的 Penrose 条件：
- (AA^gA = A)
- (A^gAA^g = A^g)
- ((AA^g)^* = AA^g) （共轭转置）
- ((A^gA)^* = A^gA) （共轭转置）满足全部四个条件的广义逆称为Moore-Penrose 逆，是最常用且唯一确定的广义逆。

主要性质与应用

解线性方程组：对于线性方程组 (Amathbf{x} = mathbf{b})：
- 如果方程组相容（有解），则 (mathbf{x} = A^+ mathbf{b}) 是所有解中欧几里得范数（长度）最小的解（最小范数解）。
- 如果方程组不相容（无解），则 (mathbf{x} = A^+ mathbf{b}) 是所有最小二乘解中欧几里得范数最小的解（最小二乘最小范数解）。这使得广义逆在回归分析、信号处理等领域至关重要。
矩阵的秩：广义逆可用于计算矩阵的秩。
投影算子：矩阵 (AA^+) 和 (A^+A) 分别是到矩阵 (A) 的列空间和行空间上的正交投影算子。

权威参考来源

广义逆矩阵是线性代数和数值计算中的基础概念，在以下权威数学著作和在线资源中有详细阐述：

《矩阵计算》(Gene H. Golub, Charles F. Van Loan)：数值线性代数领域的经典教材，对广义逆（特别是 Moore-Penrose 逆）的理论和计算方法有系统论述。 (来源： Golub & Van Loan, Matrix Computations)
《线性代数及其应用》(Gilbert Strang)：广泛使用的线性代数教材，对广义逆在解线性方程组（尤其是最小二乘问题）中的应用有清晰介绍。 (来源： Strang, Linear Algebra and Its Applications)
Roger Penrose 的原始工作：Moore-Penrose 逆的概念由 E. H. Moore 提出，并由 Roger Penrose 在 1955 年独立重新发现并给出了上述四个公理化的定义。 (来源： Penrose, R. (1955). A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 51, 406-413.)
MathWorld (Wolfram Research)：提供严谨的数学定义和性质概述。 (来源： Weisstein, Eric W. "Moore-Penrose Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource)
Wikipedia "Moore–Penrose inverse" 词条：提供详细的历史背景、定义、性质、计算方法和应用。 (来源： Wikipedia contributors. "Moore–Penrose inverse." Wikipedia, The Free Encyclopedia)

广义逆矩阵（特别是 Moore-Penrose 逆）是处理非方阵、奇异矩阵以及求解不相容线性方程组的关键数学工具。它扩展了标准逆矩阵的功能，在最小二乘问题、系统控制、统计学、信号处理等众多科学与工程领域具有不可替代的作用。其定义基于满足特定的 Penrose 条件，确保了其在解决实际问题时的数学严谨性和实用性。

网络扩展解释

广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是线性代数中用于处理非方阵或奇异矩阵（不可逆方阵）的一种推广逆运算概念。当标准逆矩阵（即矩阵的逆）不存在时，广义逆矩阵能提供类似逆矩阵的部分性质，常用于求解线性方程组、最小二乘问题等。

核心定义与类型

基本概念
对于任意矩阵 ( A in mathbb{C}^{m times n} )，若存在矩阵 ( A^g in mathbb{C}^{n times m} ) 满足以下部分或全部条件，则称 ( A^g ) 为 ( A ) 的广义逆矩阵：
- MP1条件：( A A^g A = A )
- MP2条件：( A^g A A^g = A^g )
- MP3条件：( (A A^g)^* = A A^g )
- MP4条件：( (A^g A)^* = A^g A )
常见类型
- Moore-Penrose 伪逆（加号逆）：满足全部四个条件，记为 ( A^+ )，是唯一且最常用的广义逆。
- 减号逆（g逆）：仅满足 MP1 条件，不唯一。

计算方法

通过奇异值分解（SVD）
若矩阵 ( A ) 的 SVD 分解为 ( A = U Sigma V^ )，则其 Moore-Penrose 伪逆为： $$ A^+ = V Sigma^+ U^ $$ 其中 ( Sigma^+ ) 是将 ( Sigma ) 的非零元素取倒数后转置。
正规方程法
对于满秩矩阵，若 ( A ) 列满秩，则 ( A^+ = (A^ A)^{-1} A^ )；若行满秩，则 ( A^+ = A^ (A A^)^{-1} )。

应用场景

线性方程组的解
当方程组 ( Ax = b ) 无解时，可用伪逆求最小二乘解：( x = A^+ b )。
数据拟合与优化
在统计学（如线性回归）和信号处理中，伪逆用于最小化误差。

广义逆矩阵扩展了标准逆矩阵的适用范围，尤其对病态矩阵或非方阵问题具有重要意义。其核心类型 Moore-Penrose 伪逆因唯一性和稳定性被广泛使用，是解决实际问题（如数据分析、控制理论）的重要工具。