開型積分公式英文解釋翻譯、開型積分公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 open integration formula

分詞翻譯：

開的英語翻譯：

unclose
【化】 carat
【醫】 carat

型的英語翻譯：

model; mould; type
【醫】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【經】 type

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

公式的英語翻譯：

formula
【計】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【醫】 F.; formula

專業解析

開型積分公式（Open-type Integration Formula）是數值積分中的一類方法，指在計算積分近似值時，不使用被積函數在積分區間端點處的值的數值積分公式。其名稱中的“開型”（Open-type）正是相對于“閉型”（Closed-type）而言，後者會使用積分區間端點處的函數值。

漢英術語對照與核心含義：

開型 (kāi xíng)： Open-type / Open-form
積分 (jī fēn)： Integration
公式 (gōng shì)： Formula / Rule
開型積分公式： Open-type Integration Formula / Open Integration Rule
核心含義：一種數值積分方法，其求積節點（用于計算函數值的點）嚴格位于積分區間 $(a, b)$ 的内部，不包括端點 $x=a$ 和 $x=b$。其一般形式可表示為： $$int{a}^{b} f(x)dx approx sum{k=1}^{n} w_k f(x_k)$$ 其中節點 $a < x_1 < x_2 < dots < x_n < b$，權重 $w_k$ 是特定系數。

詳細解釋：

與閉型公式的區别：
- 閉型積分公式 (Closed-type Integration Formula)：如梯形法則、辛普森法則，其求積節點包含積分區間的端點 $a$ 和 $b$。這意味着計算近似值時需要知道函數在 $a$ 和 $b$ 處的值。
- 開型積分公式：其求積節點全部位于開區間 $(a, b)$ 内，計算時不需要函數在端點 $a$ 和 $b$ 處的值。這是其最顯著的特征。
主要目的與應用場景：
- 處理端點奇點：當被積函數 $f(x)$ 在積分區間端點 $a$ 或 $b$ 處無定義（如趨于無窮大）或不連續時，閉型公式無法直接應用，因為無法計算端點的函數值。開型公式避免了使用端點值，因此適用于這類反常積分（Improper Integral）的數值計算。
- 避免端點計算：在某些情況下，即使端點有定義，也可能因為其他原因（如計算成本高、端點值難以精确獲得）而希望避免使用端點值。
- 無限區間積分：一些開型公式（如高斯求積的開型變體）經過變換可以用于計算積分區間為無窮的積分（如 $int{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int{-infty}^{infty} f(x) dx$）。
常見例子：
- 中點法則 (Midpoint Rule)：這是最簡單的開型積分公式。它使用積分區間 $[a, b]$ 的中點 $c = (a+b)/2$ 作為唯一的求積節點。 $$int_{a}^{b} f(x)dx approx (b - a) fleft(frac{a+b}{2}right)$$ 該公式的代數精度為 1（能精确積分常數函數和線性函數）。
- 開型牛頓-科特斯公式 (Open Newton-Cotes Formulas)：這些公式基于等距節點，但不包括端點。例如：
  - $n=1$ (中點法則)：如上所述。
  - $n=2$：使用兩個内部節點，公式為 $int_{a}^{b} f(x) dx approx frac{b-a}{2} [f(x_1) + f(x_2)]$，其中 $x_1 = a + frac{b-a}{3}$, $x_2 = a + frac{2(b-a)}{3}$。代數精度為 2。
  - $n=3$：使用三個内部節點，依此類推。隨着 $n$ 增大，高階開型牛頓-科特斯公式可能變得不穩定。
- 開型高斯求積公式 (Open Gaussian Quadrature)：這是最常用且高效的開型積分方法。與閉型高斯求積不同，它選擇節點 $x_k$ 和權重 $w_k$ 使得公式達到最高可能的代數精度（$2n-1$ 或 $2n$）。開型高斯公式通常基于某些正交多項式（如勒讓德多項式）在開區間上的零點來構造節點。它們在高精度計算中非常有效。

權威性參考來源：

Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (Eds.). (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards. (Chapter 25: Numerical Integration, Quadrature) - 這部經典手冊是數學函數和數值方法（包括數值積分）的權威參考。第25章詳細介紹了各種數值積分方法，其中包含對開型公式（如開型牛頓-科特斯公式）的讨論和公式列表。該書被廣泛引用，具有極高的權威性。 (來源： NIST Digital Library of Mathematical Functions 通常提供線上版本或相關内容 [考慮搜索 NIST DLMF] )
Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. (Section 5.3: Open and Semi-open Formulas) - Atkinson 的教材是數值分析領域的标準教材之一。該書清晰、嚴謹地介紹了數值積分的基本原理和方法。在5.3節中，作者專門讨論了開型（和半開型）積分公式，包括它們的動機、構造（如基于泰勒展開或待定系數法）以及與閉型公式的比較，并提供了中點法則等具體例子。 (來源：該書是大學廣泛使用的教材，權威出版社出版)
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press. (Section 4.4: Improper Integrals) - 這本實用的計算手冊在讨論反常積分（Improper Integrals）的數值計算時，自然會涉及到開型積分公式的應用。書中會解釋為什麼開型公式（如高斯求積的開型形式）適合處理端點奇點問題，并可能提供具體的算法實現建議或參考。 (來源：該書是科學計算領域的經典實用參考書)
Stoer, J., & Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.). Springer. (Section 3.3: Peano's Error Representation and Further Quadrature Formulae) - 這部深入嚴謹的教材在讨論求積公式的誤差分析（Peano核）時，通常會涵蓋不同類型的公式，包括開型公式。它會提供開型公式（如中點法則）的誤差項理論分析，并可能讨論更高階的開型公式及其性質。 (來源： Springer出版社的經典研究生教材)

開型積分公式是一種數值積分方法，其核心特征在于求積節點嚴格位于積分區間内部，不包含端點值。這使得它特别適用于處理被積函數在端點處無定義、不連續或需要避免使用端點值的場景，尤其是計算反常積分。常見的例子包括中點法則、開型牛頓-科特斯公式以及更高效的開型高斯求積公式。這些方法在科學計算和工程應用中扮演着重要角色。

網絡擴展解釋

根據搜索結果和相關數學知識，"開型積分公式"（Open Integration Formula）是數值積分方法中的一種分類，主要用于計算函數在某個區間上的近似積分值。以下是詳細解釋：

基本定義開型積分公式屬于數值積分方法，其特點是不使用積分區間端點處的函數值進行計算。與之對應的是"閉型積分公式"（Closed Integration Formula），後者會包含端點值。
數學表達式對于定積分 $int{a}^{b} f(x)dx$，開型公式一般表示為： $$ int{a}^{b} f(x)dx approx sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) $$ 其中節點 $x_i$ 滿足 $a < x_1 < x_2 < ... < x_n < b$，即所有節點都不包含端點a和b。
典型應用場景

當積分區間端點處函數值不存在或發散時（如積分奇異點位于端點）
需要避免端點計算誤差的情況
常見于龍貝格積分法（Romberg Integration）和某些高斯積分法中

與閉型公式對比 | 特征| 開型公式| 閉型公式| |-----------|---------------|---------------| | 端點使用| 不包含端點 | 包含端點| | 適用場景| 端點處函數異常 | 常規光滑函數| | 典型方法| 中點法、高斯-勒讓德公式 | 梯形法則、辛普森法則|

注：雖然搜索結果中提到積分公式在物理、經濟等領域的應用，但具體到開型積分公式，其核心特征在于節點選取方式，這一區别在工程計算中尤為重要。