开型积分公式英文解释翻译、开型积分公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 open integration formula

分词翻译：

开的英语翻译：

unclose
【化】 carat
【医】 carat

型的英语翻译：

model; mould; type
【医】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【经】 type

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

公式的英语翻译：

formula
【计】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【医】 F.; formula

专业解析

开型积分公式（Open-type Integration Formula）是数值积分中的一类方法，指在计算积分近似值时，不使用被积函数在积分区间端点处的值的数值积分公式。其名称中的“开型”（Open-type）正是相对于“闭型”（Closed-type）而言，后者会使用积分区间端点处的函数值。

汉英术语对照与核心含义：

开型 (kāi xíng)： Open-type / Open-form
积分 (jī fēn)： Integration
公式 (gōng shì)： Formula / Rule
开型积分公式： Open-type Integration Formula / Open Integration Rule
核心含义：一种数值积分方法，其求积节点（用于计算函数值的点）严格位于积分区间 $(a, b)$ 的内部，不包括端点 $x=a$ 和 $x=b$。其一般形式可表示为： $$int{a}^{b} f(x)dx approx sum{k=1}^{n} w_k f(x_k)$$ 其中节点 $a < x_1 < x_2 < dots < x_n < b$，权重 $w_k$ 是特定系数。

详细解释：

与闭型公式的区别：
- 闭型积分公式 (Closed-type Integration Formula)：如梯形法则、辛普森法则，其求积节点包含积分区间的端点 $a$ 和 $b$。这意味着计算近似值时需要知道函数在 $a$ 和 $b$ 处的值。
- 开型积分公式：其求积节点全部位于开区间 $(a, b)$ 内，计算时不需要函数在端点 $a$ 和 $b$ 处的值。这是其最显著的特征。
主要目的与应用场景：
- 处理端点奇点：当被积函数 $f(x)$ 在积分区间端点 $a$ 或 $b$ 处无定义（如趋于无穷大）或不连续时，闭型公式无法直接应用，因为无法计算端点的函数值。开型公式避免了使用端点值，因此适用于这类反常积分（Improper Integral）的数值计算。
- 避免端点计算：在某些情况下，即使端点有定义，也可能因为其他原因（如计算成本高、端点值难以精确获得）而希望避免使用端点值。
- 无限区间积分：一些开型公式（如高斯求积的开型变体）经过变换可以用于计算积分区间为无穷的积分（如 $int{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int{-infty}^{infty} f(x) dx$）。
常见例子：
- 中点法则 (Midpoint Rule)：这是最简单的开型积分公式。它使用积分区间 $[a, b]$ 的中点 $c = (a+b)/2$ 作为唯一的求积节点。 $$int_{a}^{b} f(x)dx approx (b - a) fleft(frac{a+b}{2}right)$$ 该公式的代数精度为 1（能精确积分常数函数和线性函数）。
- 开型牛顿-科特斯公式 (Open Newton-Cotes Formulas)：这些公式基于等距节点，但不包括端点。例如：
  - $n=1$ (中点法则)：如上所述。
  - $n=2$：使用两个内部节点，公式为 $int_{a}^{b} f(x) dx approx frac{b-a}{2} [f(x_1) + f(x_2)]$，其中 $x_1 = a + frac{b-a}{3}$, $x_2 = a + frac{2(b-a)}{3}$。代数精度为 2。
  - $n=3$：使用三个内部节点，依此类推。随着 $n$ 增大，高阶开型牛顿-科特斯公式可能变得不稳定。
- 开型高斯求积公式 (Open Gaussian Quadrature)：这是最常用且高效的开型积分方法。与闭型高斯求积不同，它选择节点 $x_k$ 和权重 $w_k$ 使得公式达到最高可能的代数精度（$2n-1$ 或 $2n$）。开型高斯公式通常基于某些正交多项式（如勒让德多项式）在开区间上的零点来构造节点。它们在高精度计算中非常有效。

权威性参考来源：

Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (Eds.). (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards. (Chapter 25: Numerical Integration, Quadrature) - 这部经典手册是数学函数和数值方法（包括数值积分）的权威参考。第25章详细介绍了各种数值积分方法，其中包含对开型公式（如开型牛顿-科特斯公式）的讨论和公式列表。该书被广泛引用，具有极高的权威性。 (来源： NIST Digital Library of Mathematical Functions 通常提供在线版本或相关内容 [考虑搜索 NIST DLMF] )
Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. (Section 5.3: Open and Semi-open Formulas) - Atkinson 的教材是数值分析领域的标准教材之一。该书清晰、严谨地介绍了数值积分的基本原理和方法。在5.3节中，作者专门讨论了开型（和半开型）积分公式，包括它们的动机、构造（如基于泰勒展开或待定系数法）以及与闭型公式的比较，并提供了中点法则等具体例子。 (来源：该书是大学广泛使用的教材，权威出版社出版)
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press. (Section 4.4: Improper Integrals) - 这本实用的计算手册在讨论反常积分（Improper Integrals）的数值计算时，自然会涉及到开型积分公式的应用。书中会解释为什么开型公式（如高斯求积的开型形式）适合处理端点奇点问题，并可能提供具体的算法实现建议或参考。 (来源：该书是科学计算领域的经典实用参考书)
Stoer, J., & Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.). Springer. (Section 3.3: Peano's Error Representation and Further Quadrature Formulae) - 这部深入严谨的教材在讨论求积公式的误差分析（Peano核）时，通常会涵盖不同类型的公式，包括开型公式。它会提供开型公式（如中点法则）的误差项理论分析，并可能讨论更高阶的开型公式及其性质。 (来源： Springer出版社的经典研究生教材)

开型积分公式是一种数值积分方法，其核心特征在于求积节点严格位于积分区间内部，不包含端点值。这使得它特别适用于处理被积函数在端点处无定义、不连续或需要避免使用端点值的场景，尤其是计算反常积分。常见的例子包括中点法则、开型牛顿-科特斯公式以及更高效的开型高斯求积公式。这些方法在科学计算和工程应用中扮演着重要角色。

网络扩展解释

根据搜索结果和相关数学知识，"开型积分公式"（Open Integration Formula）是数值积分方法中的一种分类，主要用于计算函数在某个区间上的近似积分值。以下是详细解释：

基本定义开型积分公式属于数值积分方法，其特点是不使用积分区间端点处的函数值进行计算。与之对应的是"闭型积分公式"（Closed Integration Formula），后者会包含端点值。
数学表达式对于定积分 $int{a}^{b} f(x)dx$，开型公式一般表示为： $$ int{a}^{b} f(x)dx approx sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) $$ 其中节点 $x_i$ 满足 $a < x_1 < x_2 < ... < x_n < b$，即所有节点都不包含端点a和b。
典型应用场景

当积分区间端点处函数值不存在或发散时（如积分奇异点位于端点）
需要避免端点计算误差的情况
常见于龙贝格积分法（Romberg Integration）和某些高斯积分法中

与闭型公式对比 | 特征| 开型公式| 闭型公式| |-----------|---------------|---------------| | 端点使用| 不包含端点 | 包含端点| | 适用场景| 端点处函数异常 | 常规光滑函数| | 典型方法| 中点法、高斯-勒让德公式 | 梯形法则、辛普森法则|

注：虽然搜索结果中提到积分公式在物理、经济等领域的应用，但具体到开型积分公式，其核心特征在于节点选取方式，这一区别在工程计算中尤为重要。