矩陣求逆引理英文解釋翻譯、矩陣求逆引理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 matrix inversion lemma

分詞翻譯：

矩陣求逆的英語翻譯：

【計】 inverse matrix; matrix inversion

引理的英語翻譯：

lemma

專業解析

矩陣求逆引理（Matrix Inversion Lemma）是線性代數中的核心工具之一，其英文全稱為“Sherman-Morrison-Woodbury Formula”。該引理主要用于簡化特定結構矩陣的求逆運算，尤其在矩陣存在低秩修正時，可顯著降低計算複雜度。

1. 數學定義與公式表達

矩陣求逆引理的一般形式為：

(A + UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}

其中，$A$為可逆方陣，$U$、$V$為低秩矩陣，$C$為可逆修正項矩陣。當修正項為秩1時（如$uv^T$），引理退化為Sherman-Morrison公式：

(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}

2. 應用場景與優勢

該引理廣泛應用于信號處理、控制理論和機器學習領域。例如，在卡爾曼濾波器中，通過引理可避免直接對高維協方差矩陣求逆（參考《矩陣計算》Gene H. Golou著）。其核心優勢在于将$n times n$矩陣的求逆問題轉化為更低維度的矩陣運算，時間複雜度從$O(n)$降低至$O(k)$（$k ll n$）。

3. 漢英術語對照

矩陣求逆引理：Matrix Inversion Lemma
低秩修正：Low-rank modification
可逆矩陣：Invertible matrix
複雜度：Computational complexity

4. 擴展與限制

Woodbury擴展公式支持更高秩的修正，但要求修正矩陣滿足特定可逆條件（見MIT線性代數公開課資料）。需注意，當分母項$1 + v^TA^{-1}u$趨近于零時，數值穩定性可能下降，需結合正則化技術處理。

網絡擴展解釋

矩陣求逆引理（Matrix Inversion Lemma），又稱謝爾曼-莫裡森-伍德伯裡公式（Sherman-Morrison-Woodbury Formula），是線性代數中用于簡化特定矩陣求逆運算的重要工具。它通過分解低秩更新的方式，避免直接計算大規模矩陣的逆，從而顯著提高計算效率。

核心公式

假設存在可逆矩陣：

( A ) 為 ( n times n ) 可逆矩陣，
( U ) 為 ( n times k ) 矩陣，
( V ) 為 ( k times n ) 矩陣，
( C ) 為 ( k times k ) 可逆矩陣，

則矩陣求逆引理的表達式為： $$ (A + UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U left( C^{-1} + VA^{-1}U right)^{-1} VA^{-1} $$

關鍵解釋

低秩更新
引理適用于對原矩陣 ( A ) 進行低秩修正的情況（即 ( UCV ) 的秩為 ( k )，且 ( k ll n )）。這種修正常見于數據增廣、參數優化等場景。
計算效率
直接求逆 ( (A + UCV)^{-1} ) 的複雜度為 ( O(n) )，而通過引理可将複雜度降為 ( O(k) )。當 ( k ll n ) 時，效率顯著提升。
特殊形式
- Sherman-Morrison 公式（當 ( k=1 ) 時）：
  $$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$$ 其中 ( u ) 和 ( v ) 為向量。
- Woodbury 公式：即引理的通用形式。

應用場景

線性回歸：更新協方差矩陣逆 ( (X^TX + Delta)^{-1} ) 時，避免重複計算。
卡爾曼濾波：動态調整狀态協方差矩陣。
推薦系統：處理用戶-物品交互矩陣的增量更新。
神經網絡：二階優化算法（如自然梯度法）中的逆矩陣近似。

推導思路

通過分塊矩陣求逆或直接展開驗證：

設 ( M = A + UCV )，
将 ( M^{-1} ) 表達為 ( A^{-1} ) 減去一個修正項，
利用恒等式 ( M^{-1}M = I ) 驗證等式成立。

注意事項

可逆條件：需确保 ( A )、( C ) 及 ( C^{-1} + VA^{-1}U ) 均可逆。
數值穩定性：當矩陣條件數較大時，可能引入計算誤差，需結合正則化技術。

矩陣求逆引理通過分解複雜運算為多個小規模計算，成為處理高維數據的關鍵工具。其核心價值在于将大規模問題轉化為低維空間求解，適用于機器學習、信號處理等多個領域。