矩阵求逆引理英文解释翻译、矩阵求逆引理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 matrix inversion lemma

分词翻译：

矩阵求逆的英语翻译：

【计】 inverse matrix; matrix inversion

引理的英语翻译：

lemma

专业解析

矩阵求逆引理（Matrix Inversion Lemma）是线性代数中的核心工具之一，其英文全称为“Sherman-Morrison-Woodbury Formula”。该引理主要用于简化特定结构矩阵的求逆运算，尤其在矩阵存在低秩修正时，可显著降低计算复杂度。

1. 数学定义与公式表达

矩阵求逆引理的一般形式为：

(A + UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}

其中，$A$为可逆方阵，$U$、$V$为低秩矩阵，$C$为可逆修正项矩阵。当修正项为秩1时（如$uv^T$），引理退化为Sherman-Morrison公式：

(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}

2. 应用场景与优势

该引理广泛应用于信号处理、控制理论和机器学习领域。例如，在卡尔曼滤波器中，通过引理可避免直接对高维协方差矩阵求逆（参考《矩阵计算》Gene H. Golou著）。其核心优势在于将$n times n$矩阵的求逆问题转化为更低维度的矩阵运算，时间复杂度从$O(n)$降低至$O(k)$（$k ll n$）。

3. 汉英术语对照

矩阵求逆引理：Matrix Inversion Lemma
低秩修正：Low-rank modification
可逆矩阵：Invertible matrix
复杂度：Computational complexity

4. 扩展与限制

Woodbury扩展公式支持更高秩的修正，但要求修正矩阵满足特定可逆条件（见MIT线性代数公开课资料）。需注意，当分母项$1 + v^TA^{-1}u$趋近于零时，数值稳定性可能下降，需结合正则化技术处理。

网络扩展解释

矩阵求逆引理（Matrix Inversion Lemma），又称谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式（Sherman-Morrison-Woodbury Formula），是线性代数中用于简化特定矩阵求逆运算的重要工具。它通过分解低秩更新的方式，避免直接计算大规模矩阵的逆，从而显著提高计算效率。

核心公式

假设存在可逆矩阵：

( A ) 为 ( n times n ) 可逆矩阵，
( U ) 为 ( n times k ) 矩阵，
( V ) 为 ( k times n ) 矩阵，
( C ) 为 ( k times k ) 可逆矩阵，

则矩阵求逆引理的表达式为： $$ (A + UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U left( C^{-1} + VA^{-1}U right)^{-1} VA^{-1} $$

关键解释

低秩更新
引理适用于对原矩阵 ( A ) 进行低秩修正的情况（即 ( UCV ) 的秩为 ( k )，且 ( k ll n )）。这种修正常见于数据增广、参数优化等场景。
计算效率
直接求逆 ( (A + UCV)^{-1} ) 的复杂度为 ( O(n) )，而通过引理可将复杂度降为 ( O(k) )。当 ( k ll n ) 时，效率显著提升。
特殊形式
- Sherman-Morrison 公式（当 ( k=1 ) 时）：
  $$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^TA^{-1}u}$$ 其中 ( u ) 和 ( v ) 为向量。
- Woodbury 公式：即引理的通用形式。

应用场景

线性回归：更新协方差矩阵逆 ( (X^TX + Delta)^{-1} ) 时，避免重复计算。
卡尔曼滤波：动态调整状态协方差矩阵。
推荐系统：处理用户-物品交互矩阵的增量更新。
神经网络：二阶优化算法（如自然梯度法）中的逆矩阵近似。

推导思路

通过分块矩阵求逆或直接展开验证：

设 ( M = A + UCV )，
将 ( M^{-1} ) 表达为 ( A^{-1} ) 减去一个修正项，
利用恒等式 ( M^{-1}M = I ) 验证等式成立。

注意事项

可逆条件：需确保 ( A )、( C ) 及 ( C^{-1} + VA^{-1}U ) 均可逆。
数值稳定性：当矩阵条件数较大时，可能引入计算误差，需结合正则化技术。

矩阵求逆引理通过分解复杂运算为多个小规模计算，成为处理高维数据的关键工具。其核心价值在于将大规模问题转化为低维空间求解，适用于机器学习、信号处理等多个领域。